RAZVOJ GRČKE MATEMATIKE
OD TALESA DO ARHIMEDA

TALES - PITAGORA - EUKLID - ARHIMED

Narod koji mi nazivamo Grcima, a koji je sam sebe nazivao Helenima, govorio je dijalektima jedinstvenog indoevropskog jezika, te su se Grci iz različitih krajeva mogli međusobno razumevati. Ova značajna jezička zajednica je još pre 600-te godine pre n.e. osnovala nezavisne gradove-države od ulaza u Crno more duž prostrane obale Male Azije, na mnogim ostrvima, kao i na kopnu koje danas nazivamo Grčkom. Ona je obuhvatala Kipar, Krit i nekoliko gradova-država južne Italije i Sicilije: Krotonu, Eleju, Tarent i Sirakuzu. Tokom 350-323. godine pre n.e. vojske Filipa i Aleksandra Makedonskog osvojile su Srednji istok i ceo Egipat. Posle Aleksandrove smrti, njegovi generali osnovali su dinastije od kojih su najinteresantnije dinastija Ptolomeja u Egiptu i Seleukida u Siriji i Mesopotamiji. Od tada pa tokom šest vekova, grad Aleksandrija, osnovan 322. godine pre n.e. u slavu osvajača, bio je prestonica grčke kulture i riznica njihove naučne literature. U celom periodu rimske dominacije, koji počinje razarenjem Kartagine na kraju trećeg Punskog rata, grčki jezik zadržao je svoju premoć kao sredstvo za prenošenje znanja, a grčka jezička zajednica ostala je netaknuta i na još većoj teritoriji nego sto je bila pre toga.

U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj – da se shvati kakvo mesto zauzima čovek u vasioni, i to u okviru neke racionalne sheme. Matematika je doprinela da se uvede red, da se ideje povežu u logične nizove i da se otkriju osnovni principi.
O epohi formiranja grčke matematike možemo da zaključujemo samo na osnovu manjih fragmenata, koji se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovu zapažanja filozofa i drugih autora koji nisu bili samo matematičari.
U vreme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici, grčki pomorci i trgovci su bili već naučili od svojih egipatskih mušterija, da za pisanje upotrebljavaju papirus, koji se mogao lakše nositi i čuvati nego glinene tablice starih semitskih civilizacija. U međusobno udaljenim zajednicama istoga jezika, bogati trgovci i pomorci ovladali su pismenošću, bez uticaja neke moćne svesteničke kaste. Oni su bili spremni da prilagode korisno znanje, sticano na putovanjima, praktičnim potrebama.
Period tokom koga su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike može se podeliti u tri velike faze. Prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, proteže se od Talesa i Pitagore do Demokrita, približno od 600-400. godine pre n.e. Osnovu druge faze predstavlja učenje Platona (430-349. godine pre n.e.). Ona kulminira u Euklidovom sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine pre n.e.), Platonovog učenika. Euklidova smrt prethodi nekoliko godina Arhimedovom rođenju (oko 287. godine pre n.e.) čija naklonost ka pronalascima predstavlja početak treće faze. Treću fazu tj. aleksandrijsku fazu odlikuje odstupanje od formalizama i jak osećaj za praktičnu primenu matematike.
Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke matematike mada o tome nema dokumentovanih podataka, ranijih od jednog veka posle Talesove smrti. Pretpostavlja se da se datum smrti Talesa podudara sa datumom rođenja Pitagore i sa stupanjem na presto persijskog kralja Kira, koji je kasnije podvrgao svojoj vlasti grčke gradove u Maloj aziji.

Tales (Tales Milećanin, Thales)
(oko 625-548. godina pre n.e.)

Tales iz Mileta, svestrano obrazovan filozof, bio je aktivan kao matematičar i kao državnik. Njega su ubrajali u sedam mudraca. Kao matematičar poznat je po Talesovoj teoremi. Tales se smatra prvim Helenom koji je izlagao i dokazao teoreme. Iako mnogi navode da je Tales prvi dokazivao teoreme, verovatno je to da nije koristio strogi logički način dokazivanja već crteže u pesku koristeći očiglednost kao najjači argument. Pripisuje mu se sledećih pet teorema:

1. Prečnik polovi krug
2. Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki
3. Naspramni uglovi koje formiraju dve prave koje se seku su jednaki
4. Ugao upisan u polukrug je prav
5. Trougao je određen jednom stranicom i uglovima naleglim na nju

Talesova teorema: Ako su A, B i C tačke na krugu gde je AC prečnik kruga, tada je ugao ABC prav ugao.

Dokaz:
Koristimo pretpostavku da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla i da su dva ugla jednakokrakog trougla jednaka.
Neka je O centar kruga. Neka su OA=OB=OC, OAB i OBC su jednakokraki trouglovi i zbog jednakosti uglova u jednakokrakim trouglovima važi da su jednaki uglovi OBC=OCB=δ i BAO=ABO=γ

Dobijamo:

2γ + γ ′ = 180° odavde je γ ′ =180°-2γ

2δ + δ ′ = 180° odavde je δ ′ =180°-2δ

Takođe znamo da je

γ ′ + δ ′ = 180°

Zamenjujući γ ′ i δ ′ iz prve dve jednačine u treću dobijamo:

γ + δ = 90°

Tales nije bio prvi koji je poznavao ovu činjenicu, jer su je i Egipćani i Vavilonci poznavali empirijski. Teorema je dobila ime po Talesu koji ju je prvi dokazao.

Posmatrajući pojedine predmete, pojave i procese u prirodi našao je nešto nepromenljivo, iz čega sve proizilazi i u što se sve razrešava, a to je voda! Voda je preosnova svega i voda je za njega ne samo prapodloga života nego i apsolutni kosmički princip. Smatra se da je ustanovio godišnja doba i da je godinu podelio na 365 dana. Moreplovce je upućivao da prate sazvežđe Malog medveda, jer ono najbolje pokazuje sever, prorekao je pomračenje sunca( 28.maja 585. godine pre n.e.), za Zemlju je smatrao da je okrugla ploča koja pliva na vodi. Tales nije imao učitelje. U Egiptu se družio sa sveštenicima. Priča se da je Tales izmerio visinu piramida na osnovu senki, posmarajući trenutak kada je naša senka iste dužine kao i naše telo.

Zanimljivost: Tales se bavio trgovinom. Prevozio je so na mulama koje su na svom putu trebale preći potok. Jedna je mula bila neposlušna, ali i snalažljiva. Da bi se rešila tereta, mula se izvaljala u vodi i tako rastopila svu so. Tales ju je nadmudrio. Natovario ju je sa sunđerima umesto soli. Kad se je izvaljala u vodi, više se nije mogla podići. Tako ju je Tales uspeo opametiti.
Tales se bavio astronomijom. Voleo je da posmatra zvezde. Jedne noći izašao je ispred kuće. Gledajući zvezde na nebu, pao je u rupu. Platon o tome piše kao da je pao u bunar. Lepa tračka robinja mu se narugala : “Tales bi hteo da zna šta se zbiva na nebu, a ne zna šta mu se zbiva pod nogama.”

Pitagora
(569-500. godina pre n.e.)

U matematici se više zna i pominje Pitagora, verovatno zbog toga što je za sobom ostavio školu tzv. pitagorejce koji su se uprkos i najžešćem proganjanju, održali dugo posle njegove smrti. Smatra se da je Pitagora, kao i Tales svoje znanje doneo u mnogome iz Egipta. Pitagora je rođen na grčkom ostrvu Samosu, u Jonskom moru oko 569. godine p.n.e . Otac mu je bio trgovac, pa je Pitagora bio s njim na putovanjima. Misli se da su na Pitagoru najjače uticala tri filozofa: Ferekid, Tales i Anaksimander koji su ga upoznali sa matematičkim idejama. Pitagora je osnovao tajno bratstvo u Krotonu, u južoj Italiji koje je predstavljalo jednu od mnogih škola čiji su se učitelji međusobno kritikovali i vodili debate. Jedna od prvih škola koja se suprotstavila pitagorejskom učenju bila je Zenonova škola koja je osnovana u Eleji u južnoj Italiji. Zenon je u vreme Pitagorine smrti izneo optužnicu, predlažući niz zagonetki u kojima i naši savremenici vide duboke probleme.
U traganju za večnim zakonima vasione, pitagorejci su izučavali geometriju, aritmetiku, astonomiju i muziku (kvadrijum). Pitagorejci su brojeve delili na klase: parne, neparne, parno-neparne, neparno-neparne, proste i složene, prijateljske, trougaone, četvorougaone, petougaone... Najinteresantnije rezultate postigli su u proučavanju „trougaonih“ brojeva koji su povezivali geometriju i aritmetiku.

.
. . .
. 1, . . 3, . . . 6, itd.

Naš termin „kvadratni brojevi“ potiče od pitagorejskih konstrukcija:

. . .
. . . . .
. 1, . . 4, . . . 9, itd.

Brojevi su postali osnova njihove filozofije vasione. Nastojali su da sve odnose svedu na numeričke odnose (sve je broj). Tačka je bila jedinstvenost u položaju. Naročito je bio značajan onos brojeva. Jednakost odnosa čini proporciju. Oni su razlikovali aritmetičku, geometrijsku i harmonijsku proporciju.
Pitagorejcima su bile poznate neke osobine pravilnih mnogouglova i pravilnih poliedara. Oni su pokazali kako se ravan može popuniti sistemom pravilnih trouglova, kvadrata ili pravilnih šestouglova, a prostor-sistemom kocki.
Najznačajnije od otkrića koja su pripisivana pitagorejcima bilo je otkriće racionalnosti u vidu nesamerljivih duži. Moguće je da su do tog otkrića došli proučavanjem geometrijske sredine koja je naročito interesovala pitagorejce, a služila je kao simbol aristokratije. Čemu je jednaka geometrijska sredina jedinice i dvojke? Traženje odgovora vodi izučavanju odnosa stranice i dijagonale kvadrata i pronađeno je da se taj odnos ne izražava „brojem“, tj. onim što mi danas nazivamo racionalnim brojevima. To otkriće je narušilo prirodnu harmoniju između aritmetike i geometrije.
Dok je boravio u Egiptu, prijavio se i bio primljen u sveštenstvo gde je učio o geometriji i sveštenicima npr. da ne jedu grašak, ne nose kožnu odeću, žude za potpunom čistoćom i tajnosti. O Pitagori se malo zna baš zbog toga, jer je sledio egipatska uverenja: rad u potpunoj tajnosti, tako da nije ostala zabelžena ni jedna njegova knjiga.
Pitagorinu teoremu su pitagorejci pripisivali svome učitelju i pričali da je on kada ju je pronašao prineo kao žrtvu bogovima sto bikova u znak zahvalnosti. Međutim, ta teorema je bila poznata i u Vaviloniji u vreme Hamurabija, ali je verovatno, da je prvi opšti dokaz te teoreme dat u pitagorejskoj školi.
Legenda kaže da je čekajući u predvorju palate da ga primi tiranin Polikrat, Pitagora se zagledao u kamene pločice na podu. Tako mu je sinula ideja: zbir kvadrata nad katetema jednak je kvadratu nad hipotenuzom!

Teorema: Neka su a i b katete pravouglog trougla, a c njegova hipotenuza. Tada je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.

a²+ b² = c²

Jedan od dokaza :

Pravougli trougao sa stranicama a, b, c podudaran je sa preostala tri trougla unutar označenog kvadrata. Površina kvadrata nad hipotenuzom odgovara zbiru površina ta četiri pravougla trougla zajedno sa površinom malog kvadrata između njih.

Razvijanje matematike u tom periodu sastojalo se pre svega u pronalaženju novih geometrijskih istina, pre svega geometrijskih teorema i njihovih dokaza. U procesu dokazivanja novih stavova došlo se do problema koji se rešavaju teško ili nikako. Tako su nastali izvesni problemi koji su postali čuveni i oko kojih su mnogi, vekovima okušavali sreću, ali uzalud. Ono što ti problemi zahtevaju nije uopšte moguće.
To su, pre svega, sedeća tri problema:

1. Udvostručenje kocke, tzv. Delski problem (po ostrvu Delu), koji se sastoji u tome da treba konstruisati kocku čija je zapremina dvaput veća od zapremine zadate kocke.
2. Trisekcija ugla, tj. podela ugla na tri jednaka dela, tj. konstrukcija ugla koji je po veličini trećina datog ugla.
3. Kvadratura kruga, tj. konstrukcija kvadrata kome je površina jednaka površini datog kruga, ili konstrukcija duži koja ima dužinu obima kruga.

Problem je u tome što se podrazumeva da konstrukciju treba obaviti samo pomoću lenjira i šestara, a koristeći ove dve najprostije sprave ne možemo sve konstruisati. U prvo doba razvića geometrije javili su se pronalasci nekih sprava pomoću kojih bi se pomenuta konstrukcija mogla izvršiti. Pod Platonovim uticajem i uticajem matematičke škole rešeno je da se u geometriji jedino dopuste lenjir i šestar. To znači da sve što se u geometriji konstruiše treba konstruisati samo povlačenjem pravih i krugova (ili kružnih lukova). Da je konstrukcija u navedenim slučajevima nemoguća lako se uveravamo, ako se poslužimo metodom analitičke geometrije koja rešava geometrijske zadatke algebarski, pomoću jednačina. Svakoj pravoj odgovara jednačina prvog stepena, a svakom krugu jednačina drugog stepena.
Jednačina prave:

y = ax + b,

a jednačinu kruga:

(x − p)² + (y − q)² = r².

Svakoj konstrukciji prave ili kruga u toku rešavanja geometrijskog zadatka odgovara uvođenje jedne takve jednačine, a svakom sečenju pravih i krugova odgovara traženje zajedničkih rešenja takvih jednačina. Dakle, svaka geometrijska konstrukcija ostavlja nas u oblasti jednačina prvog i drugog stepena i prema tome, sve što se pomoću šestara i lenjira može konstruisati, rešava se u analitičkoj geometriji samo pomoću jednačina prvog i drugog stepena. No, prva dva od navedenih problema rešavaju se u analitičkoj geometriji tek jednačinom trećeg stepena, a treći problem niti jednačinom kojeg bilo vižeg stepena, nego tek jednom od tzv. transcendentnih jednačina. Dakle, rešenje tih problema, kakvo se traži, ne postoji.
Razvoj matematike se sastojao pored nalaženja novih činjenica geometrije i u koriščenju deduktivne metode u geometriji. Težište se prebacuje na dokazivanje date istine, u logičnom svođenju na neke druge, jednostavnije polazne geometrijske istine. Dedukcija dovodi do sistematisanja stečenog znanja. To će dati Euklidove elemente.

Euklid
(330. pre.n.e. – 275. pre.n.e.)

Euklid je bio Platonov student u Atini, dok je većinu života proveo radeći u Aleksandriji, u Egipatu, gde je osnovao matematičku akademiju. Aleksandrija je više od šesto godina bila centar nauke. Na univerzitetu i biblioteci došlo je do procvata egzaktnih nauka, naročito matematike. Euklid je napisao brojna dela, od kojih neka nisu sačuvana i poznata su samo po naslovu. Sačuvana su dela: „Elementi“, „Data“, „Optika“ i dr. Negevo najčuvenije delo su "Elementi", koje je uticalo na zapadno akademsko mišljenje. Smatra se da su nastali oko 325-te godine pre n.e. dok je Euklid još živeo u Atini. Za "Elemente" se kaže da je posle Biblije u ljudskoj istoriji najviše proučavano, prevođeno i štampano delo. Doživelo je 1700 izdanja. Delo sadrži razne vrste tvrđenja, definicije, dve vrste stavova koji se ne dokazuju, aksiome i postulate, stavove koji se dokazuju, odnosno pretpostavke koje se javljaju u obliku tvrđenja i tada ih zovemo teoremama. Euklid je sistematski opisivao ono što je izučavao, postavljao je više aksioma i postulata, teoreme je izvodio iz već izvedenih zaključaka, posledice i pouke. Razlika između aksioma i postulata u Euklidovim radovima je u tome što su aksiomi više opšte matematičke, a postulati geometrijske pretpostavke. Tako logičan metod istraživačkog rada održao se do dana današnjeg. Elementi su pisani u trinaest tomova, a u njima je Euklid izneo i nalaze svojih prethodnika, Pitagore i drugih, u vidu sistematskih dokaza, teorija i originalnih nalaza. U prvih šest tomova detaljno je obradio geometriju ravni: trouglove, kvadrate, pravougaonike, krugove, kao i teoriju proporcija. Sledeća četiri toma obuhvataju razne teorije, uključujući i teoriju o neograničenim brojevima. Poslednja tri toma obrađuju geometriju tela. Neki Euklidovi aksiomi (kao teorema o paralelnosti) opovrgnuti su u devetnaestom veku, a Albert Ajnštajn izneo je tvrdjenje da Euklidova geometrija ne važi u vasioni.
U odnosu na druge naučne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. godine pre.n.e. pojavom dela "Elementi". Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je pokušao da izlaganje bude strogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti "Elementi" su vekovima smatrani najsavršenijim matematičkim delom. Mnoge generacije matematičara i drugih naučnika su učili iz ove knjige kako se logički zaključuje i novo povezuje s ranije utvrđenim činjenicama. Kasnije su "Elementi" analizirani i dopunjavani. Posebnu pažnju su privlačili aksiomi i postulati. U “Elementima” se nalazi i dokazane su je 464 teoreme koje se i danas na isti način dokazuju.
Prvu knjigu elemenata Euklid počinje nizom definicija kojim uvodi prve geometrijske pojmove. Evo neke od njih:
1. Tačka je ono što nema delova.
2. Linija je dužina bez širine.
3. Krajevi linije su tačke.
4. Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži.
5. Površina je ono što ima samo dužinu i širinu.
6. Krajevi površine su linije.
7. Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako leži.
8. Ugao u ravni je uzajamni nagib dveju linija u ravni, koje se stiču i koje ne leže u istoj pravoj.

U drugoj knjizi definiše pravougaonik i gnomon. U trećoj i četvrtoj definicije su vezane za krugove i poligone. U petoj su one koje se odnose na proporcionalnost, a u šestoj na sličnost. U sedmoj se definišu pojam broja, parnosti i neparnosti, prostih i složenih brojeva. Osma i deveta knjiga ne sadrže definicije, a u desetoj se definicije odnose na samerljivost. Poslednje tri knjige čine celinu i sve definicije se odnose na stereometriju i nalaze se na početku jedanaeste knjige.
Kao što je već rečeno, osnovne stavove je Euklid podelio na aksiome i postulate.

Postulati:
"Neka se pretpostavi:
1. Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija.
2. I da ograničena prava može biti produžena u svom pravcu neprekidno.
3. I da se može opisati od svakog središta svakim rastojanjem krug.
4. I da su svi pravi uglovi jednaki među sobom.
5. I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja ugla čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produžene, seći i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava.
Peti postulat je izazvao najviše polemike. Smatralo se da peti postulat ne treba da bude jedan od osnovnih stavova.

Aksiomi:
1. Oni (objekti) koji su jednaki istom (objektu) jednaki su međusobno.
2. I ako se jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su jednake.
3. I ako se od jednakih (objekata) oduzmu jednaki (objekti) ostaci su jednaki.
4. I ako se nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine su nejednake.
5. I udvostručeni jednaki (objekti) jednaki su međusobno.
6. I polovine od jednakih (objekata) jednaki su međusobno.
7. I oni (geometrijski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su međusobno.
8. I celina je veća od dela.
9. I dve prave ne ograničavaju oblast.
Po mišljenju Rasela, Elementi su "nesumnjivo jedna od najvećih knjiga koja je ikada napisana i jedan od najsavršenijih spomenika grčkog uma".

Arhimed
(287. pre n.e.-212. pre n.e.)

Arhimed iz Sirakuze, smatra se jednim od trojice najgenijalnijih matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveći fizičar starog veka. Rodio se 287. godine pre nove ere. Otac Arhimedov bio je Fidija. Fidija se bavio matematikom i astronomijom. U vreme Arhimedovog rođenja Fidija je bio relativno siromašan građanin, kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Međutim njegovo siromaštvo nije bilo dugog veka jer je uskoro njihov rođak, Hijeron zavladao gradom. Fidija je svog sina naučio svemu što je sam znao.
Arhimed je brzo primio očevo znanje. Njegov duh tražio je još znanja i učenja, a to mu niko nije mogao pružiti u Sirakuzi. Stoga je otišao u Aleksandriju gde su moćni Ptolomejevići osnovali čuvenu Aleksandrijsku biblioteku. U to vreme Aleksandrija je bila središte prirodnih nauka, što je tada obuhvatalo astronomiju, matematiku, medicinu i filologiju. Arhimed u Aleksandriji nije postao ono što je mogao i što su najčešće postajali daroviti matematičari, pesnici i medicinari - dvorski čovek koji će kroz svoja dela veličati vladajuću kuću. Njega je pre svega i jedino zanimala matematika.
U Aleksandrijskoj biblioteci radilo se mnogo mladih i sposobnih matematičara. Najsvestraniji bio je Eratosten, budući Arhimedov prijatelj. Nepisano pravilo je nalagao da svako otkriće pre objavljivanja mora biti poslano nekom drugom matematičaru na proveru. Tako su vršnjaci, Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti razmenjivali brojna pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrića i jednog i drugog. Vrativši se u Sirakuzu, Arhimed se u početku bavio astronomijom. Sirakuza nije dugo mogla uživati svoju slobodu te se stoga Arhimed spremao za obranu svoga grada kako je znao i umeo.
Arhimed, u vreme rada na problemima, nije video ništa drugo osim problema koji je rešavao. On je zaboravljao na jelo i prilike u kojima je radio. Heureka! Heureka! (grč. prefiks glagola heursiko - nađem, izračunam, izmislim) Našao sam, uzviknuo je Arhimed kada je, sedeći u kupatilu, otkrio fizički zakon da svako telo, potopljeno u tečnost, istisne iz posude onu količinu tečnosti kolika je njegova sopstvena zapremina. Taj gubitak je u stvari potisak tečnosti.
Za skoro celu Sirakuzu, Arhimed je bio lud, a on će sve te ljude koji su ga okruživali odbraniti od Rimljana i tako im sačuvati živote. Arhimed se bavio običnim, praktičnim problemima, koji su bili primenjivani na mnogim mestima, od polja do rudnika, za razliku od nekih njegovih kolega. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zarobljenim geometrijskim telima, izračunao je opseg i površinu kruga, površinu odsečka parabole, obim kugle, površinu elipse itd. Pri tom se služio metodama kojima se danas služimo u diferencijalnom i integralnom računu, tako da se Arhimed smatra tvorcem integralnog računa. Našao je način za pisanje vrlo velikih brojeva. Pokazao kako se matematika može primeniti na mehaniku, otkrio zakone poluge, uzgona (tzv. Arhimedov zakon), određivanje težišta, izumeo vijak, unapredio statiku. On je pronašao zakone poluge, postavio osnove hidrostatike i odredio približnu vrednost broja π.
Arhimed je poginuo za vreme opsade Sirakuze. Poginuo je od mača rimskog vojnika u rodnom gradu Sirakuzi, koja je dve godine odolevala Rimljanima zahvaljujući spravama i mašinama, koje je Arhimed sastavio od poznatih jednostavnih alata (npr. dizalice za dizanje i bacanje brodova, vrstu katapulta za bacanje velikog kamenja idr.). Kada je Sirakuzu nakon dve godine zauzeo Marcellus, rimski vojskovođa, dao je nalog da se zaštiti Arhimed, ali ga rimski vojnik nije prepoznao i ubio ga 212 godine. Prema Liviju, prilikom zauzeća Sirakuze, Arhimed je mirno crtao geometrijske slike i doviknuo rimskom vojniku, koji je na njega nasrnuo: »Nemoj kvariti moje krugove«. Prema njegov želji podignut je na njegovom grobu spomenik, na kojem su dva geometrijska tela: valjak i kugla.
O njegovoj nauci svedoče neke zgode iz njegovog života koje se prepričavaju sve do danas, npr. kako je pomoću paraboličkih ogledala spalio rimske brodove prilikom opsade Sirakuze, kako je pomoću velike poluge podigao veliki brod iz brodogradilišta i tada je rekao da bi isto tako mogao podići i celu Zemlju kad bi našao tačku oslonca za polugu.
S velikom veštinom Arhimed primenjuje geometrijska razmatranja da bi izvršio konstrukciju tangente na spirali (pužnoj liniji) koju je on naročito ispitivao i koju nazivamo njegovim imenom, da bi izvršio kvadraturu isečka spirale s vrhom u njenom središtu. Tu svoju spiralu definiše Arhimed na sledeći način: Neka se poluprava p obrće u ravni oko svoga kraja O stalnom brzinom, i neka se istovremeno na polupravoj p tačka P udaljuje od O stalnom brzinom. Tada tačka P opisuje u ravni izvesnu liniju — Arhimedovu spiralu!

Arhimedova spirala

Sugrađani nisu smeli održavati grob svog velikog mislioca za vreme opsade. Njega je jedva pronašao Ciceron i to zahvaljujući crtežu lopte i valjka koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru u spomen. Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su pozvali ljude da iseku korov i da nam prokrče put i čim smo se približili ovom stubu, videli smo u njegovom podnožju natpis. Deo uklesanih stihova mogao se još pročitati, sve ostalo je satrlo vreme.
Najpoznatija dela su: O kvadraturi parabole, O lopti i valjku, O računu sa peščanim zrncima, O ravnoteži ravnih likova, O merenju kruga, O plivanju tela, O konoidima i sferoidima.
U ratu sa Rimljanima 47. godine pre n.e. izgorela je Aleksandrijska biblioteka. To je bio jedan od najtežih gubitaka koje je nauka pretrpela. Posle propasti Aleksandrijske biblioteke postojala je velika biblioteka u Maloj Aziji koja je preneta u Aleksandriju. Godine 342. uništena je i druga biblioteka u naletu rulje koja je bila fanatizovana od hrišćanskog arhiepiskopa. Poslednji matematičari nestaju iz Aleksandrije u V veku. Time se završava cvetanje nauke u Aleksandriji. Posle toga je središte naučnog života bila stara Platonova Akademija u Atini. Već oko 100 godina kasnije, 529. godine, car Justinijan je zabranio, pagansku nastavu i zatvorito Akademiju.

LITERATURA:

[1] E. T. BELL, VELIKI MATEMATIČARI, ZNANJE ZAGREB, 1972.
[2] M. RADOJČIĆ, OPŠTA MATEMATIKA, preuzeto sa www.matf.bg.ac.yu/~zlucic/opstamat.pdf
[3] www.wikipedia.org
[4] www.mathos.hr/~bruckler/skripta/Grcka.pdf
[5] skole.htnet.hr

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi