Blek - Šols diferencijalna jednačina

...ili kako da matematičar postane nobelovac

Kada kažemo Nobelova nagrada, većina nas iz Srbije pomisli na Ivu Andrića, našeg zasad jedinog nobelovca. Takođe, pre par godina, gledali smo film o Džonu Nešu, matematičaru koji je dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju. Jedna od najpoznatijih priča koja okružuje ovu nagradu je, svakako ona koja kaže da je Alfred Nobel krivio jednog matematičara za neuspeh u ljubavi. Bio je kivan na njega do kraja života i kada je sastavljao testament, pa je to ralog zašto ne postoji i Nobelova nagrada za matematiku. Međutim ova priča nije istinita. A i da jeste, matematičari su pronašli rupu u zakonu. Naime, Nobelovom nagradom za ekonomiju su do 2007. nagrađena 66 naučnika. Od tog broja, 20 ih je bilo sa univerzitetskom diplomom matematičara. A ne zaboravimo i na Bertrana Rasela, matematičara i filozofa koji je dobio Nobelovu nagradu za književnost.
Sad se sigurno pitate koja je veza između ove teme i Nobelove nagrade. Objašnjenje sledi. Blek – Šols diferencijalna jednačina je samo deo Blek – Šols modela za određivanje vrednosti opcija. Opcije su vrsta finansijskih instrumenata. Njima se trguje na berzi na isti način kako se trguje sa akcijama ili naftom ili smrznutim svinjskim polutkama.
Ova jednačina je jedan od najpoznatijih i najkorišćenijih matematičkih izraza u finansijskom svetu. Jedan od tvoraca modela, Majron Šols je 1997. godine, zajedno sa kolegom Robertom Mertonom, dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju. Šolsov kolega, Fišer Blek, je preminuo 1995. godine, te je uskraćen na osnovu pravila da se Nobelove nagrade ne dodeljuju posthumno. Za utehu je da su istakli i naglasili njegovu ulogu i značaj.
Stoga ako sanjate o Nobelovoj nagradi, evo jednog od mogućih puteva do iste!

FINANSIJSKA TRŽIŠTA I INSTRUMENTI

• robne ili produktne berze
• finansijske berze
• mešovite berze

Robne berze su specijalizovane za promet odgovarajućih roba ili proizvoda. Na njima se trguje sa žitaricama, metalima, naftom, zemnim gasom, električnom energijom i ostalim poljoprivrednim proizvodima kao što su meso, mleko, južno voće pa čak i sir.
Finansijske berze su berze na kojima se trguje različitim finansijskim instrumentima. Instrumente delimo u dve grupe: osnovne i izvedene. Osnovni instrumenti su akcije, obveznice, valuta i devize. Izvedeni instrumenti su poznatiji pod imenom finansijski derivati. Ime su dobili zbog toga što se njihova vrednost izvodi iz vrednosti nekog osnovnog finansijskog instrumenta koji se nalazi u njihovoj osnovi. Njihova cena zavisi kako od odnosa ponude i potražnje za njima, tako i od vrednosti osnovnog instrumenta. Finansijski derivati se smatraju vrlo važnim instrumentom za upravljanje rizicima na finansijskim tržištima. Oni omogućavaju da se rizik podeli i mnogo racionalnije kontroliše. Najznačajniji derivati su:

• terminski ugovori – takozvani forvordi(forward)
• likvidni terminski ugovori – fjučersi(futures)
• opcije(options)

Nas će najviše interesovati opcije. Organizovana trgovina opcijama, kao standardizovanim finansijskim instrumentima, otpočela je u aprilu 1973. godine u Čikagu, gde je formirana i prva berza finansijskih opcija pod imenom Chicago Board Options Exchange ili CBOE.
Opcija je finansijski instrument koji predstavlja ugovor između prodavca i kupca u kome je sadržano pravo, ali ne i obaveza kupca da se kupi ili proda neka aktiva u određenom vremenskom periodu ili na tačno utvrđeni trenutak u budućnosti, po ceni koja je određena u momentu sklapanja ugovora.
Lice koje prodaje opciju naziva se emitentom (engl. Writer), cena po kojoj se aktiva može kupiti/prodati je cena izvršenja (engl. Strike price), termin u kome opcija dospeva je dan dospeća opcije, a cena koju kupac opcije plaća je premija (engl. Option premium).
S obzirom na pravo koje daje njenom imaocu, opcije delimo na dve vrste: kupovne i prodajne. Kupovna ili call opcija daje pravo njenom imaocu da kupi određenu aktivu po unapred određenoj ceni. Prodajna ili put opcija daje pravo njenom imaocu da proda aktivu po unapred određenoj ceni. S aspekta mogućnosti izvršenja ugovora razlikujemo američke i evropske opcije. Američke se mogu realizovati u bilo kojem momentu do dana dospeća opcije uključujući i taj dan, dok se evropske opcije mogu realizovati samo na dan dospeća. Robne opcije mogu da podrazumevaju pravo na kupovinu/prodaju zemljišta, poljoprivrednih proizvoda, metala, energenata, graševinskih objekata i slično. U SAD finansijske opcije obuhvataju opcije na akcije, opcije na berzanske indekse kao i valutne i kamatne opcije.
Kao što smo rekli na početku,derivati a samim tim i opcije, se koriste da bi se smanjio rizik pri trgovanju. U engleskom jeziku se to označava rečju hedging što bi u slobodnom prevodu značilo zaštita od rizika. Pomoću opcija moguće je smanjiti, pa čak i eliminisati rizik promene cena pojedinih roba, hartija od vrednosti, kamatnih stopa, deviznih kurseva, tržišnih indeksa, itd. Opcije mogu obezbediti veću stabilnost investicija u hartije od vrednosti, ali i druge oblike aktive.
Zapravo na berzi derivata postoje dve vrste igrača hedžeri i špekulanti. Hedžeri(engl. hedgers) su igrači koje interesuje roba. To mogu biti farmeri, rudarske kompanije, pekari, juveliri itd. Špekulanti(engl. speculators) trguju derivatima isključivo da bi na njima ostvarili zaradu. Oni trguju derivatima ali nikada ne koriste robu koja je predmet ugovora. U zavisnosti od kretanja cena neke robe, špekulanti kupuju ili prodaju ugovore. Stoga ako na tržištu opcija, Pera njima trguje radi zaštite od rizika pada tržišne cene svoje osnovne investicije, tada Peru nazivamo hedžerom. Ali ako Pera na ovom tržištu trguje opcijama radi ostvarenja dobiti od očekivanih promena kao što su porast cene nafte ili pad kursa američkog dolara, a koje drugi investitori izgleda ne očekuju, tada Peru nazivamo špekulantom.

ODREĐIVANJE VREDNOSTI OPCIJA

Od pojave opcija, određivanje njihovih cena predstavlja jednu od najatraktivnijih oblasti finansijske teorije ali i primenjene matematike. Sa uvećavanjem novih vrsta opcija, razvijane su i nove matematičke metode kao i modeli za određivanje cene. Standardne metode određivanja vrednosti akcija ili obveznica se ne mogu primeniti na opcije jer njihova vrednost zavisi od vrednosti osnovnog instrumenta iz koga su izvedene kao i rizika koji taj instrument nosi sa sobom. Na primer, vrednost opcije na akcije direktno zavisi od kretanja cene same akcije. Kako se te promene dešavaju često, uz postojanje visokog rizika i neizvesnosti, neophodno je bilo razviti posebne modele i tehnike.

Osnovni faktori koju utiču na cenu opcija su:

1. Cena aktive koja se nalazi u osnovi opcije. U slučaju da cena aktive raste, raste i potražnja za kol opcijama, a samim tim i njihova tržišna cena. Kod put opcija, situacija je obrnuta – rast cene aktive usloviće pad cene prodajnih opcija, pošto će opasti tražnja za njima jer niko neće hteti da kupi pravo po strajk ceni koja je fiksna dok tržišna cena aktive raste, a samim tim i mogućnost da se proda po višoj ceni.
2. Strajk cena. Ova cena je izvesnija nego cena aktive jer je fiksirana i poznata unapred do datuma dospeća. Ukoliko je strajk cena viša i cena put opcije će bit viša dok će niža strajk cena obarati cenu put opcija. Sa druge strane viša strajk cena će usloviti nižu cenu kol opcija i obrnuto, niža strajk cena će voditi višoj tržišnoj ceni kol opcija.
3. Datum dospeća opcije. Uticaj roka izvršenja na cenu opcija je veoma kompleksan. U slučaju američkih opcija(put i kol), ako je rok dospeća duži i cena opcije će biti veća jer postoji dovoljno vremena za povoljna cenovna kretanja tako da je dugoročna opcija vrednija od kratkoročne. Kada se govori o evropskom tipu opcija, napred navedeno pravilo ne mora da važi već se može desiti da su kratkoročne vrednije od dugoročnih opcija.
4. Volatilnost aktive tj. rizik cenovnih kolebanja aktive. U nestabilnim tržišnim prilikama investitori će pokazati veću sklonost za držanjem opcija u svom portfelju i to kao za potrebe hedžinga tako i iz špekulativnih namera. Upravo zato, ako je predviđena volatilnost cena aktive veća, veća će biti i cena opcija i obrnuto.
5. Bezrizična kamatna stopa. U uslovima rasta kamatnih stopa, cena put opcije će opadati, dok će u isto vreme cene kol opcija rasti.
6. Dividenda. Isplaćena dividenda utiče na smanjenje cene akcija u periodu nakon isplate dividende, a samim tim utiče i na visinu cene opcija. Upravo zato, vrednost kol opcija je negativno korelirana sa visinom dividende, dok je vrednost put opcije pozitivno korelirana

 Da bi neki subjekt pribavio opciju, neophodno je da za to plati određenu cenu. Cena opcije se zove premija i formira se na tržištu kao posledica sučeljavanja ponude i potražnje, a pod uticajem gore navedenih faktora. nameće se logično pitanje da li je moguće utvrditi vrednost opcije koja stoji u osnovi same tržišne vrednosti opcije? To je veoma složen zadatak uzevši u obzir činjenicu da opcija sama po sebi ne donosi nikakv prinos, te se isti i ne može koristiti za utvrđivanje vrednosti opcije. Naime, opcija daje samo pravo na kupovinu određene aktive koja će u budućnosti doneti neki prinos tako da sledi da je vrednost opcije dvostruko posredna – zavisi od prinosa koji nosi aktiva iz osnove opcije.
Cena opcije se sastoji iz dva dela: stvarna ili suštinska vrednost(engl. intrinsic value) i vremenska vrednost ili vremenska opcija (engl. time value of options or time premium). Stvarna vrednost opcije predstavlja finansijski rezultat koji bi njen imalac ostvario njenom trenutačnom realizacijom. U slučaju da za imaoca opcije postoje nepovoljna cenovna kretanja na tržištu, on opciju neće realizovati jer bi u suprotnom ostvario negativan rezultat, iz čega sledi da minimalna stvarna vrednost opcije ne može biti negativna. Odnosno, stvarna vrednost put opcije predstavlja  pozitivnu razliku između tekuće tržišne vrednosti i strajk cene.
Vremenska vrednost opcije predstavlja razliku između trenutne tržišne vrednosti i stvarne vrednosti opcije. Ona zavisi od kupčevih očekivanja o budućem(do roka dospeća opcije) cenovnom kretanju aktive koja se nalazi u osnovi opcije. Ako kupci očekuju takve promene cena koje će uzrokovati rast stvarne vrednosti opcije, oni će biti spremni da plate više za takvu opciju. S obzirom da su mogućnosti za takva cenovna kretanja veća što je rok dospeća opcije duži, vremenska premija će biti veća što je rok izvršenja duži.
Danas u literaturi postoji više teorija koje pokušavaju da utvrde cenu opcija.Među njima se izdvajaju dva najznačajnija modela – binomni i Blek - Šols model. Oba polaze od činjenice da se vrednost opcije menja sa svakom promenom cene akcije iz osnove opcije, tako da je nemoguće utvrditi očekivani novčani tok od opcije čijim diskontovanjem bi se utvrdila vrednost opcije. Zato se vrednost opcija utvrđuje indirektnim putem – formiranjem finansijskog instrumenta ili portofolija koji će donositi isti prinos kao i opcije pa stoga i njegova cena mora biti jednaka ceni opcije. Treba naglasiti da su modeli razvijeni za opcije koje u osnovi imaju akcije, ali se utvrđivanje cena opcija na neku drugu aktivu(obveznice, indekse, valutu i sl.) radi na veoma sličan način.
Pre nego što nastavimo dalje, neophodno je upoznati se sa jednom od osnovnih ideja na kojoj se zasniva teorija određivanja vrednosti finansijskih derivata – arbitražom. U ekonomiji i finansijama, arbitraža podrazumeva iskorištavanje cenovne razlike između dva ili više tržišta. Šta to konkretno znači? Trgovci mogu ostvariti velike zarade ako istovremeno kupuju jeftiniji, a prodaju skuplji ugovor. Razlika u ceni je mali deo dolara, ali ovi trgovci trguju istovremeno velikim brojem ugovora pa zbog toga ostvaruju značajne rezultate. veliki broj trgovaca u istom trenutku donosi iste odluke, pa njihova kupovina ili prodaja može izazvati promene na tržištima na kojima trguju.
U akademskom smislu, arbitraža je transakcija koja uključuje negativan tok novca(cash flow) u nekom verovatnom ili privremenom stanju i pozitivnitok novca(cash flow) u najmanje jednom stanju. Pojednostavljeno, to su transakcije koje donose profit ali bez rizika. Ako tržište ne dozvoljava profitabilnu arbitražu, za cene se kaže da čine arbitražni ekvilibrijum tj. da na tom tržištu ne postoji arbitraža. Ova pretpostavka se koristi u skoro svim modelima kvantitativnih finansija i samo tako je moguće izračunati jedinstvenu bezrizičnu(risk free)vrednost finanasijskih derivata. Ova pretpostavka je jedna od polaznih u Blek – Šols modelu. 

BLEK – ŠOLS MODEL

Maja 1973. godine u časopisu Political Journal objavljen je rad po nazivom Pricing of Options and Corporate Liabilities. Rad je imao dva autora: Majron Šolsa(Myron Scholes) i Fišera Bleka(Fischer Black). U tom trenutku, izraz Blek – Šols model za određivanje vrednosti opcija nije postojao. Ovaj izraz je skovao Robert Merton koji je u časopisu Bell Journal of Economics and Management Science objavio rad pod nazivom Theory of Rational Option Pricing. U svom radu Merton je dodatno opisao i proširio matematičko shvatanje koje su izneli Blek i Šols u svom radu. Interesantno je kako su Blek I Šols objavili svoj rad. Naime, oni su rad poslali svim uglednim ekonomskim časopisima ali su bili odbijeni od strane svakog od njih sa obrazloženjem da nisu u mogućnosti da provere tačnost njihovih navoda. Tek su u časopisu Political Journal odlučili da rizikuju jer je u aprilu te iste godine otpočelo trgovanje sa opcijama na CBOE. Naravno, rizik se isplatio i ovaj rad je postao jedan od najpoznatijih i najcitiranijh radova. Takođe model se veoma dobro pokazao i u trgovanju s tim što su se neke polazne pretpostavke morale značajno ublažiti. Model je postao veoma popularan jer je lak za izračunavanje a pri tom ne zahteva poznavanje investitorove sklonosti ka riziku.

Vrednost evropske kol opcije u momentu dospeća je

f = max(S – X, 0), kada je t = T

a put opcije je

      f = max(X – S, 0), kada je t = T,

gde je  X ugovorena cena akcije, T je vreme isteka opcije, a S je cena akcije u trenutku t = T. Kako se opcije mogu prodavati i kupovati tokom svog trajanja, osnovni problem je odrediti cenu opcije. Kao osnovni model procesa kretanja cena akcija uzima se proces geometrijskog Braunovog kretanja(Vinerov proces), odnosno pretpostavlja se da je proces kretanja cena akcija St gde je 0 ≤ t ≥ T. To je opisano sledećom linearnom diferencijalnom stohastičkom jednačinom

dSt = μ Stdt + σ St dWt

gde je μ realan broj koji predstavlja povećanje cene akcije, σ > 0 je koeficijent volatilnosti, a S0 je realan pozitivan broj koji predstavlja početnu cenu akcije. Proces Wt je jednodimenziono Braunovo kretanje na filtriranom prostoru verovatnoće. Ako rešimo datu jednačinu dobijamo

Odavde sledi da prinosi od cena akcija imaju lognormalnu raspodelu. Za svako fiksirano t, slučajna promenljiva St = f(Wt) je invertibilna funkcija koja za domen i kodomen uzima polje realnih brojeva. Stoga važi da je filtracija generisan procesom St cene akcije poklapa sa prirodnom filtracijom procesa Wt. Ovo znaći da je informaciona struktura modela zasnovana samo na posmatranju cena akcija. Primenom Itove formule na funkciju f = f(St, t), dobija se Blek – Šols parcijalna diferencijalna jednačina

U slučaju da je funkcija f cena evropske kol opcije, rešenja za kol opciju su data sa

a za put opciju važi

gde su

Obično se stavlja da je t sadašnji trenutak, odnosno da je t = 0.

Blek –Šols jednačina se može prilagoditi slučaju kada akcija koja je u osnovi opcije isplaćuje dividende. Akcija koja prihod od dividendi isplaćuje po godišnjoj stopi q, mora imati totalni prinos kao i akcija koja ima sve ostale karakteristike iste, ali ne isplaćuje dividende. Stopa prinosa akcije koja isplaćuje dividende će biti manja za q. ako sa neprekidnim prinosom od dividendi q cene akcije poraste sa S0 u početnom momentu na ST u momentu T. Ako se pretpostavi da akcija donosi neprekidan prinos od dividendi po godišnjoj stopi q, moguće je izvesti odgovarajuću Blek – Šols jednačinu za cenu derivata koji zavisi od takve akcije

U slučaju evropskih kol i put opcija na akciju koja prihod od dividendi isplaćuje neprekidno po godišnjoj stopi q, cene se određuju na sledeći način:

gde se vrednosti d1 i d2 izračunavaju na sledeći način:

Ovaj rezultat dobio je Robert Merton u svom gore pomenutom radu. Ako prinos od dividendi nije konstantan, prethodne jednačine važe, ali se prihod od dividendi q izračunava kao prosečni prihod od dividendi na godišnjem nivou koji se dobija tokom trajanja opcije. Blek – Šols jednačina ne zavisi od promenljivih povezanih sa sklonosti prema riziku. Zbog toga, može se koristiti risk-neutralno izračunavanje. U risk-neutralnom svetu, stopa prinosa od akcije mora bit jednaka ne rizičnoj kamatnoj stopi r. Dividenda donosi prihod po stopi q, pa je stopa povećanja cene akcije(appreciaton rate) jednaka r – q. Dakle, proces kretanja cena akcija u risk-neutralnom svetu je

Veoma je interesantno kako odrediti vrednost opcije u čijoj osnovi leži inostrana valuta. U osnovi takvog opcionog ugovora stoji odrđen broj jedinica inostrane valute. Inostrana valuta ima osobinu da onaj ko je poseduje, može da zaradi kamatu po ne rizičnoj kamatnom stopi rf koja preovlađuje u stranoj zemlj. Stoga se ona može posmatrati kao aktiva koja donosi poznati prihod od dividendi. Prihod od dividendi je u ovom slučaju ne rizična kamatna stopa u stranoj zemlji. Najčešće valute kojima se trguje su američki i kanadski dolar, britanska sterling funta, švajcarski franak, euro i japanski jen.
Za odrešivanje vrednosti cene opcija na inostranu valutu, posmatra se proces Qt kretanja trenutne stop razmene valute. U risk-neutralnom svetu ovaj proces zadovoljava sledeću stohastičku jednačinu

gde je rd domaća ne rizična kamatna stopa, rf je strana ne rizična kamatna stopa, a σQ je volatilnost stope razmene valute. Ovaj proces je isti kao i u procesu kretanja cena akcija u risk neutralnom svetu samo što je q = rf. To sledi iz toga što se inostrana valuta može posmatrati kao aktiva koja donosi poznati prihod od dividendi gde je prihod od dividendi u ovom slučaju ne rizična kamatna stopa u stranoj zemlji. Vlasnik inostrane valute prima ”prinos od dividendi” jednak ne rizičnoj kamatnoj stopi ff u inostranoj valuti. Na osnovu toga se dobijaju izrazi za odrešivanje cena evropskih kol i put opcija:

gde je S0 vrednost stope razmene u momentu t = 0. Dalje je

LITERATURA

• Paul Wilmott, S. Howison, J. Dewyne – The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge Universitz Press, 1995.
• Dejan Erić – Finansijska tržišta i instrumenti, Čigoja štampa, Beograd 2003.
• Dragić Stojadinović – Nobelova nagrada za ekonomiju, Akademska štampa, Beograd, 2005.
• Dora Seleši – Modeli finansijske matematike, seminarski rad, Institut za matematiku i informatiku, PMF Novi Sad, 2002.
• S. Janković, Z. Lozanov – Crvenković, M. Merkle – Finansijski derivati u čijoj su osnovi inostrane valute, Simpozijum o operacionim istraživanjima, Herceg Novi, 2003.
• Don M. Chance – Analysis of Derivatives for the CFA program, Association  for Investment Management and research, 2003.

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi