APOLONIJEVI PROBLEMI

Geometrija pre stare Grčke

U arheološkim nalazima Egipta i Mesopotamije javljaju se stari papirusi i glinene ploče sa matematičkim sadržajem. Iz njih se vidi da su ljudi veoma rano počeli da se bave matematikom. Kroz vekove i razne kulture došlo je do razvoja aritmetike i geometrije. Geometrija se koristila u oblastima kao što su astronomija, geodezija, građevina, itd.
Herodot, grčki istoričar iz V veka pre nove ere smatrao je da je geometrija potekla iz Egipta kao potreba da se precizno izmere granice pojedinih zemljišta posle poplava Nila jer je voda brisala te granice.
U Mesopotamiji oko 2000. godine pre nove ere Sumerci su već imali dosta razvijenu matematiku. Arheološki nalazi pokazuju da su poznavali izvesne stavove vezane za trouglove, bavili su se proučavanjem površina pravougaonika, približno izračunavali obim i površinu kruga, zapreminu kupe i polulopte a precizno izračunavali zapremine piramida. Takođe je na glinenim pločama pronađeno rešavanje nekih zadataka u vezi dužina, širina, površina a koji su slični rešavanju kvadratnih i kubnih jednačina.
Do Grka matematika je bila pretežno empirijska nauka. Postojala je stagnacija u razvoju, nova otkrića su bila retka pojava tako da se postojeće znanje iz matematike samo prenosilo iz generacije u generaciju. Ovakvo stanje prekinuto je pojavom nove civilizacije i novih pogleda na svet koje su predstavljali Grci, a matematika dostiže nivo prave nauke.

Geometrija stare Grčke

U toku VII i VI veka pre nove ere na obalama Male Azije nastali su polisi - samoupravni gradovi -države, a na scenu stupa novi stalež - trgovački stalež. Najznačajniji gradovi tog vremena su se nalazili su Joniji. Kako se trgovina razvijala tako su se polako povezivale obale Sredozemnog mora, Egipta i Mesopotamije, a samim tim došlo je i do razvoja geometrije i matematike uopšte.
Otac grčke matematike smatra se Tales iz Mileta, trgovac koji je u prvoj polovini VI veka pre nove ere putovao u Vaviloniju i Egipat. Osnovao je svoju školu u kojoj je negovana geometrija. Poznavao je niz stavova ali ih nije dokazivao. Poznata je Talesova teorema: ugao nad prečnikom je prav. Po legendi, Tales je zadivio faraone svojom veštinom izračunavanja visine piramide.
U drugoj polovini V veka pre nove ere, u doba Perikla, Atina je postala centar Grčke imperije i time počinje zlatno doba Grčke. Ali iz tog vremena ostao je zabeležen samo jedan fragment iz matematike koji je pripadao Hipokratu sa Hiosa. U njemu je razmatrao pitanje tzv. polumeseca tj. ravnih figura oivičenih sa dva kružna luka. U njemu se vidi visok nivo matematičkog razmišljanja od jednog stava ka drugom. Poznato delo su mu "Elementi" čime su udareni temelji aksiomatike.
Tri značajna problema matematike koja su počela da se izučavaju u to vreme su bila:

• trisekcija ugla - podela ma kog ugla na tri jednaka dela;
• udvostručenje kuba - određivanje ivice kocke koja bi imala zapreminu dva puta veću od zapremine date kocke;
• kvadratura kruga - nalaženje kvadrata čija bi površina bila jednaka površini datog kruga.

Od grupe Sofista, struje koja je postojala u Grčkoj, vremenom se odvojila grupa pod nazivom Pitogorejci po osnivaču škole Pitagori (u VI veku pre nove ere) koji su tražili nepromenljivost u prirodi i društvu. Izučavali su geometriju, aritmetiku, astronomiju i muziku (kvadrivijum). Najznačajnija teorema Pitagore je čuvena Pitagorina teorema koja se prvi put pominje pod tim nazivom kod Plutaha (I vek pre nove ere), a izložena je u Euklidovim "Elementima" (I knjiga, 47. stav). Predstavnik ove škole je bio Arhit iz Tarenta (oko 400. godine pre nove ere).
Na razvoj matematike pa i geometrije znatan uticaj imao je Platon (429 - 348. godine pre nove ere) iz Kirene. Osnovao je čuvenu "Akademiju" - školu u kojoj se izučavao kvadrivijum. Na ulazu u školu bile su ispisane reči: "Neka niko ne ulazi ovamo ako ne zna geometriju", što pokazuje da se geometrija smatrala temeljem nastave i obrazovanja. Platon se bavio i sistematisanjem gradiva i ispitivanjem njenih osnova, te od njega potiče postavljanje postulata i aksioma na čelo geometrije.
Tri velika matematičara ovog vremena su Teetet (? - 369. godine pre nove ere), Platonov učenik kome se pripisuje teorija iracionalnosti, a što je izloženo u Euklidovim "Elementima" (u X knjizi), Eudoks (408 - 355. godine pre nove ere) koji je izučavao teoriju odnosa, koja je takođe izložena u Euklidovim "Elementima" (u V knjizi) kao metoda ekshaustije (metoda ispražnjavanja). Eudoks je imao otkrića i u oblasti astronomije tzv. "Eudoksov planetarni sistem" - pokušaj da se objasni kretanje planeta oko Zemlje.
I Euklid (365 - 275. godine pre nove ere) daleko najpoznatiji matematičar čije delo "Elementi" je ostalo neprevaziđeno. Napisano 325. godine pre nove ere, sadrži sistematski, deduktivno izloženo osnovno znanje iz geometrije. Euklidovo izlaganje se sastoji iz sistema definicija, postulata i aksioma.
Uticaj Euklidovih "Elemenata" na kulturu čovečanstva je veliki, jer iz tog dela ljudi su stolećima, sve do novijeg vremena učili ne samo geometriju već preko nje uopšte logičkom rasuđivanju i naučnim metodama. Sastavljena je od deset knjiga gde veliki deo naše školske geometrije doslovce koristi znanje iz prvih šest knjiga.
Iako se u početku smatralo da su "Elementi" savršeni, počelo je kritičko razmatranje. Tako je Arhimed (287 - 212. godine pre nove ere) zapazio nepotpunost spiska Euklidovih postulata i dodao još pet daljih postulata koje je smatrao potrebnim za teoriju merenja.
Inače, Arhimed je još jedan od velikih matematičara helenističkog doba koji je živeo u Sirakuzi kao savetnik cara Hijerona. Ubijen je kada su Rimljani zauzimali Sirakuzu, a u odbrani grada korišćena je njegova tehnička veština. U prilog matematici dao je mnoga dela: "Merenje kruga" - gde je došao do dužine kružnice, "O sferi i cilindru", "Kvadratura parabole", "O spiralama", "O konoidima i sferoidima".
Apolonije je još jedan slavni grčki matematičar (265 - 170. godine pre nove ere) čije je delo "Konika" - traktat od osam knjiga o konusnim presecima, napisano tako da se nije imalo šta više dodati.
Treba pomenuti i Paposa (250 - 300. godine nove ere) koji je otkrio dvorazmeru, involuciju, nalazenje četvrte harmonijske tačke pomoću potpunog četvorougla itd.

Aleksandrijska škola

Nakon smrti Aleksandra Velikog 323. godine pre nove ere, njegova država se raspala a vojskovođe su je podelile među sobom. Egipat je došao pod vlast Ptolemajosa, sina Lagija, najprosvećenijeg među njima. Uzeo je kraljevsku titulu, a Aleksandriju proglasio za prestonicu. Tako ona postaje najlepša varoš, trgovački i duhovni centar starog sveta.
Vladavina prvih Ptolemajovaca je trajala ceo jedan vek i predstavljala zlatno doba Aleksandrije. Aleksandrija je činila vezu izmedju istoka i zapada, mesto ukrštanja trgovine starog sveta kao i zborno mesto naučnika.
Prvi Ptolemajov naslednik, Ptolemaj I Sotor (323 - 284. god. pre nove ere) osnovao je čuveni Aleksandrijski Muzejon, mesto u kome su naučnici živeli i radili potpuno oslobođeni materijalnih briga. Njegov sin Filadelfos ga je proširio dodatnim zgradama kao i velikom bibliotekom koja je naredna tri veka bila mesto na kome su se prikupljala sva duhovna blaga kako grčka tako i ostalih kulturnih naroda starog sveta. Bilo je tu oko pola miliona truba rukopisa, pločica, tablica, i pergamenata.
Naučnici su neposredno mogli da se koriste starim znanjima Egipćana i Vavilonaca kao i indijskim znanjima na polju matematike i astronomije. Zato je učenost Aleksandrijaca dobila značaj svetske učenosti i mogla je da prkupi znaje starog sveta i stvori nova.
Aleksandrijski Muzejon je bio skup naučnika, nešto nalik našim Akademijama nauka, mesto na kome su se obrazovali i vaspitavali mlađi naraštaji, ali koji daleko prevazilazi današnje akademije i univerzitete u smislu kosmopolitenskog znanja i svojih naučnih tekovina. Jedan od prvih nastavnika te visoke škole bio je Euklid, koji je sa svojim "Elementima" obuhvatio sva dotadašnja znanja iz geometrije i tako postao učitelj svim kasnijim naraštajima.
Pored geometrije u Aleksandrijskoj školi se izučavala i astronomija i to od samog njenog osnivanja. Aristarh Samoski (310 - 280.(260.) godine pre nove ere) je bio najveći astronomski genije starog veka koji je predavao u Aleksandrijskoj školi i bavio se posmatranjem neba. Osnivač je heliocentričnog sistema (da se Zemlja okreće oko Sunca, a ne Sunce oko Zemlje). Njegov sledbenik bio je Seleuk iz Seleukije, (živeo je u II veku pre nove ere) koji je prihvatio i dokazao Aristarhov sistem.
Eratosten (276 - 194. godine pre nove ere), upravnik Aleksandrijske biblioteke, bio je prvi koji je premerio Zemljinu loptu. Bavio se matematikom, astronomijom, hronologijom, geografijom. U njegovo vreme izvršena je reforma egipatskog kalendara (238. god. pre nove ere, svaka četvrta godina, 366 dana, bila je prestupna). Duhovni oci te reforme bili su aleksandrijski naučnici.
Godine 47. pre Hrista, u ratu sa Rimljanima, Aleksandrijska biblioteka je izgorela, što je bio jedan od najtežih gubitaka koje je nauka ikad pretrpela.

Život i delo Apolonija

Apolonios Pergejski živeo je od 262. do 190. god. pre nove ere. Rođen je u Pergi u Pamfiliji, gradu u severozapadnom delu Male Azije. Došao je kao mlad u Aleksandriju i vaspitao se kod Euklidovih učenika. Pretpostavlja se da je predavao u Aleksandriji i Pergi i postao jedan od najvećih matematičara tog doba. Tu je i napisao svoje delo o koničnim presecima, veličanstveni spomenik aleksandrijske nauke. Zbog ovog dela je poznat kao "najveći geometar" tog doba i ono je do danas ostalo osnovno klasično delo iz oblasti elementarne geometrije.
Apolonije je bio savremenik Arhimeda. Po objavi dela "Konični preseci", Apolonija su optužili za plagijat "Koničnih preseka" Arhimeda koji nisu bili objavljeni. Ova optužba bila je besmislena i imala je političku osnovu zbog bliskosti Apolonija i pergamskog cara Atala I. U svakom slučaju, između njih nije bilo drugarskih odnosa. Apolonije je kao odgovor na Arhimedovo delo "Merenje kruga" izdao delo sa satiričnim naslovom "Sredstvo za ubrzanje porođaja".
Kod nalaženja broja π, koristio je drugačiji način od Arhimeda i dobio tačniju vrednost. Usavršio je Arhimedov numerički sistem koristeći 104 kao osnovu, tj. uveo je računanje mirijadama. Ovaj broj, 104 , mirijada se dugo koristio na istoku i bio osnova svim velikim sistemima na istoku i u Evropi mnogo vekova.
Konusni preseci su se izučavali mnogo pre Apolonija. Ali Apolonije je taj koji je sistematizovao znanja i otkrića svojih prethodnika. Bio je prvi koji je dao teorijsku osnovu za sva tri konusna preseka: o kružnom konusu, pravom i kosom. Bio je prvi koji je prepoznao obe grane hiperbole.
Napisao je traktat (delo od 8 knjiga) o elipsi, paraboli i hiperboli koje su definisane kao preseci kružnog konusa, a završava ga ispitivanjima evoluta konusnih preseka. Nazivi ovih krivih potiču upravo od Apolonija a koriste se i danas. Nazivi izražavaju jednu od osobina krivih koja se odnosi na površine, a koja se izražava jednačinama:

Ove oznake je koristio i Apolonije, gde su p, d - oznake odsečaka; znak '+' daje hiperbolu, '-' elipsu. Reč parabola znači "dodatak", zato je elipsa "dodatak sa umanjenjem", a hiperbola "dodatak sa uvećanjem".
Apoloniju nije bila poznata savremena koordinatna metoda jer mu nije bio poznat algebarski način označavanja. Međutim, mnogi njegovi rezultati mogu se neposredno zapisati metodom koordinata, uključujući i onu osobinu evoluta koja je izražena njihovim jednačinama u Dekartovim koordinatama.
Ostala Apolonijeva dela koja su delimično sačuvana sadrže "algebarsku" geometriju na geometrijskom jeziku i u njima je zadržan isti način obeležavanja. Kod Apolonija se prvi put nailazi na jasno izražen zahtev da se geometrijske konstrukcije izvode iskljucivo lenjirom i šestarom.
Apolonijevo delo o konusima sastoji se od osam knjiga. Sačuvano je sedam, dok osma nedostaje. Prve četiri dolaze od Grka, a druge tri su u arapskom prevodu. Knjige I-IV sadrže ono što se već znalo, samo što je Apolonije znanja svojih prethodnika sistematizovao i uredio. Knjiga I sadrži raspravu o svim dobijenim konusnim presecima pravog odnosno kosog kružnog konusa. U knjizi II govori se o asimptotama i granama hiperbole i crtanju tangenata. Knjiga III sadrži odabrane teoreme o površinama, o harmonijskim svojstvima polova i teoreme o proizvodu segmenata nastalih presekom tetiva. Knjiga IV raspravlja dokaze nekih tvrđenja iz knjige III i o nekim harmonijskim svojstvima polova.
Knjige V-VII sadrže njegova sopstvena otkrića. Knjiga V se smatra najoriginalnijom od svih sedam knjiga. Ovde se razmatra normala kao maksimalna i minimalna prava linija povučena iz tačke na krivu. Knjiga VI govori o jednakosti i sličnosti konusa, dok knjiga VII govori o prečnicima i pravolinijskim figurama opisanim nad tim prečnicima.
Uopšteno njegova tvrđenja se danas razmatraju u analitičkoj i projektivnoj geometriji. Grčka matematika je dostigla svoju kulminaciju u vreme Apolonija, dok Euklid i Apolonije su najveći geometričari koji su dominirali geometrijom dve hiljade godina.

Apolonijevi problemi

Apolonijev problem kružnice koja dodiruje tri zadane kružnice sastoji se u konstrukciji te kružnice. Ovaj problem je poslednji od deset, gde se traži ista konstrukcija, ako su zadate 3 tačke; 2 tačke i prava; tačka, prava i kružnica; itd. Dva od tri problema je rešio još Euklid, a ostale Apolonije. Samo njegovo delo o tom problemu nije sačuvano pa ne znamo tačno kako ga je rešio. Jedino zahvaljujući Paposu koji pominje to delo, znamo da je ono postojalo. Tim problemom su se bavili i mnogi matematičari kao što su Viete u XVI veku, Njutn u XVII veku.
Sa pretpostavkom da su zadate tri kružnice koje leže jedna van druge, obeležene brojevima I, II, III, onda postoji 8 mogućih rešenja:

• I, II, III unutar tražene kružnice
• I, II unutar tražene kružnice, a III izvan tražene kružnice
• I, III unutar tražene kružnice, a II izvan tražene kružnice
• II, III unutar tražene kružnice, a I izvan tražene kružnice
• I unutar tražene kružnice, a II, III izvan tražene kružnice
• II unutar tražene kružnice, a I, III izvan tražene kružnice
• III unutar tražene kružnice, a I, II izvan tražene kružnice
• I, II, III izvan tražene kružnice

Da bi došli do tražene konstrukcije zadatak ćemo pojednostaviti tako što ćemo tražiti onu kružnicu koja prolazi kroz zadatu tačku i dodiruje dve zadate kružnice. Ako se reši ovaj zadatak, onda se jednostavnom konstrukcijom (sl. 1, sl. 2) može rešiti problem u celini.
Smanjimo li najmanju od zadatih kružnica na tačku, i smanjimo tj. povećamo za njen poluprečnik r poluprečnike preostalih kružnica, dobijamo jednostavan problem. Rešenje tog problema je kružnica, čiji se poluprečnik razlikuje od poluprečnika tražene kružnice, i to za r.
Izvodimo nekoliko pomoćnih stavova:
  STAV 1: Potencija tačke T s obzirom na kružnicu k jednaka je AT · BT = CT2.
dokaz: (sl. 3)
a @ d (periferni uglovi nad istim lukom BC)
d @ b (uglovi sa normalnim kracima)
Þ a @ b
g @ g 
što znači da je:
D ATC ~ D BTC
pa je: AT : CT = CT : BT
tj. AT · BT = CT2
To znači da je za sve sečice iz tačke T proizvod odsečaka od tačke T do preseka sečice i kružnice konstantan i jednak kvadratu dužine tangente iz tačke T do dodira sa kružnicom. Taj proizvod se zove potencija tačke T s obzirom na kružnicu k.
Obrnuto iz CT2 = AT · BT dobijamo da je C tačka dodira kružnice i prave koja prolazi kroz tačke T i C.
STAV 2: Konstrukcija kružnice k1 koja dodiruje kružnicu  k, a sadrži tačke A i B.
dokaz: (sl. 4)
Konstruišemo kroz tačke A i B bilo kakvu kružnicu k2, koja seče kružnicu k u dve razne tačke R i S. Zajednička sečica kroz R i S seče pravu, određenu tačkama A i B u T. Konstruišemo tangentu t iz tačke T na kružnicu k. Ona mora biti ujedno i tangenta tražene kružnice k1 i to zato što je:
AT · BT = RT · ST = DT2
(D ATS ~ D BTR),
pa D mora biti tačka dodira tangente t i kružnice koja sadrži tačke A i B pa je stoga k1 tražena kružnica.
STAV 3: Prava koja sadrži tačke dodira kružnice k3 sa kružnicama k1 i k2 i prolazi kroz središte sličnosti kružnica k1 i k2.

dokaz: (sl. 5)
Ð S3 MN @ Ð S3 NM (uglovi na osnovici jednakokrakog trougla)
Ð S3 MN @ Ð S1 MR (unakrsni uglovi)
Ð S1 RM @ Ð S1 MR (uglovi na osnovici jednakokrakog trougla)
pa je stoga Ð S3 NM @ Ð S1 RM. Kako im je NR  zajednički krak to mora RS1 êêS3N, tj. RS1êêNS2, a iz toga sledi da je: D OS1R ~ D OS2N (homotetički položaj), pa su im homologne stranice srazmerne: OS1 : OS2 = RS1 : NS2 = r1 :r2, dakle O je središte sličnosti.
STAV 4: Date su kružnice k1 i k2 i tačka P. Tražimo presek P1 , prave koja sadrži tačku O i P i kružnice koja prolazi kroz P, a dodiruje kružnice k1 i k2.
dokaz: (sl. 6)
O je središte sličnosti, kroz koje, prema stavu 3, prolazi prava koja sadrži tačke dodira M, N.
Vidimo da je Ð ONA1 @ Ð ORA
Ð ORA i Ð ARM
su suplementni jer su susedni.
Ð ARM i Ð MBA
su suplementni jer su A, B, M, R konciklične (tačke iste kružnice) tako da su AMBR temena tetivnog četvorougla za koje je poznato da zbir suprotnih uglova iznosi 180°. Odatle izlazi: Ð ONA1 @ Ð MBA, a to znači da je BA1MN tetivan četvorougao, tj. B, A1, M, N su konciklične, pa mora biti:
OB · OA1 = OM · ON. Kako su M, N, P, P1  konciklične to znači da je:
OM · ON = OP1 · OP, a to znači da su B, A1, P, P1 konciklične tj. pripadaju jednoj kružnici. Tačka P1 se dobija kao presek kružnice kroz B, A1, P, P1 sa pravom OP. Kružnica kroz P i P1, koja dodiruje k1 (ili k2 ) konstruiše se prema stavu 2. Ona će automatski dodirivati i drugu kružnicu, jer su P1, P, M, N konciklične tačke.
Konstrukcija se izvodi na sledeći način:

. 

 Zadane su kružnice k2 i k3 i tačka S1. Tražimo kružnicu kroz tačku S1 koja dodiruje k2 i k3. Sa dva paralelna poluprečnika kružnica k2 i k3 odredimo središte sličnosti O. Kroz S1, B, A1 povučemo kružnicu koja seče svaku od zadatih kružnica u dve tačke i za koju prema stavu 4 znamo da prolazi još jednom kroz tačku P1 (na pravoj OS1) tražene kružnice.
Da bi našli ovu kružnicu koristimo metod stava 2 i povučemo zajedničku sečicu kružnice (S1BA1) i kružnice k3. Iz preseka T ove sečice s pravom OS1, povučemo tangentu na k3 i dobijamo tačku dodira D3, u kojoj tražena kružnica kroz S1, P1 dodiruje kružnicu k3.
Slično dobijamo sečicu kružnice (S1BA1) i kružnice k2, tačku R i tačku dodira D2 tangente povučene iz R na kružnicu k2.
D2 i D3 su tačke dodira tražene kružnice kroz S1, a presek sečica S2D2 i S3D3 daje njeno središte S. Prema slici 1 i slici 2 njen poluprečnik treba povećati tj. smanjiti za r da bi se dobilo rešenje Apolonijevog problema.

Algebarski način rešavanja problema

Data su tri kruga k1, k2 i k3. Apolonijev problem se sastoji u tome što treba konstruisati lenjirom i šestarom sve moguće krugove k koji dodiruju sva tri kruga k1, k2 i k3. Jedan od mogućih rešenja dat je na slici 8.
Koristeći se prethodnim znanjima, pokazaćemo sve moguće krugove k, konstruisane lenjirom i šestarom.
Ako je dat krug k1 sa centrom O1, poluprečnika r1 i k sa centrom O i poluprečnika r, postoje tri mogućnosti pod kojima se dva kruga dodiruju:
 

krugovi se dodiruju sa spoljne strane i imaju zajedničku tangentu, tada važi:

krugovi se dodiruju sa unutrašnje strane tj. krug k1 leži unutar kruga k, tada važi:

krugovi se dodiruju sa unutrašnje strane tj. krug k leži unutar kruga k1, tada važi:

 Kraće rečeno, krugovi k i k1 se dodiruju ako i samo ako:
  (1)
Da bi ovo povezali sa algebrom, uzećemo centre da su O(x,y), O1(x1,y1).
Naša jednakost (1) dobija oblik:

Sada se može postaviti Apolonijev problem. Krug k dodiruje sva tri kruga k1, k2, k3 ako svaka od jednakosti:



sadrži + ili - u svakoj jednakosti.
Ovde, za svaku od osam mogućnosti izbora znaka, imamo sistem od tri jednačine sa tri nepoznate x, y, r. Naš problem je kako rešiti ove jednačine lenjirom i šestarom ako rešenje postoji.

 Ako izmnožimo prvu jednakost dobijamo:

sredimo i dobijamo oblik:
   (2)
gde su koeficijenti brojevi koji se mogu nacrtati. Slično dobijamo i za druge dve jednakosti:
   (3)
   (4)
Ako oduzmemo jednakost (3) od (2) i (4) od (2) , dobijamo jednačine oblika:
   (5)
   (6)
gde se opet svi koeficijenti mogu nacrtati, pri čemu se razlikuju od prethodnih brojeva.
Sada možemo izraziti rešenja za x i y u zavisnosti od r, pri čemu smatramo da su G2 r + H2 i G3 r + H3 konstantni članovi. Korišćenjem jednakosti (5) i (6) dobijamo:


odnosno:


gde se koeficijenti mogu nacrtati, kao što su se mogli i prethodni. Ako zamenimo dobijeno x  i y u jednakost (2), onda ona postaje kvadratna jednačina po r, sa koeficijentima koji se mogu nacrtati:

Ovakvu jednačinu možemo rešiti lenjirom i šestarom kako bi našli r, a tada možemo nacrtati i x i y, što rešava naš problem. Možemo primetiti da ako je bilo koji problem algebarski nemoguć, onda je problem geometrijski nemoguć. Na primer, ako su tri kruga koncentrična onda ne postoji krug koji dodiruje sva tri.
Različiti oblici Apolonijevog problema se mogu rešiti na isti način. Ako pretpostavimo, na primer, da želimo da konstruišemo sve krugove k koji prolaze kroz tačku O1 i dodiruju kružnice k2 i k3, za rešenje ćemo staviti samo da je r1=0 i rešava se na isti način kao u prethodnom slučaju (sl. 12).

Konusni preseci

Nazivi elipse, parabole i hiperbole potiču od Apolonija, mada ih je koristio i sam Pitagora u terminima vezanim za površine. Kada su Pitagorejci primenili pravougaonik na linijski segment (osnova pravougaonika smeštena je duž linijskog segmenta tako da se jedan njegov kraj podudara sa jednim krajem segmenta), rekli su da su imali slučajeve elipse, parabole i hiperbole, kada je osnova postavljenog pravougaonika bila kraća od linijskog segmenta, tačno se podudarala sa njim ili ga prelazila.
Uzmimo da je AB glavna osa konusa, P bilo koja tačka konusa i Q podnožje normale iz P na AB. Iz tačke A, koja pripada konusu povučena je normala na AB i označena je kao rastojanje AR koje se zove "latus rectum" ili parametar p.
Primenimo, na segment AR, pravougaonik čija je jedna strana AQ, i neka mu je površina (PQ)2. Ukoliko je primena kraća od, podudara se ili prelazi segment AR, to će biti elipsa, parabola ili hiperbola kako ih Apolonije zove. Drugim rečima, ako posmatramo krivu u odnosu na Dekartov koordinatni sistem, imamo x i y osu duž AB i AR i postavimo koordinate tačke P na x i y, tada je kriva elipsa, parabola ili hiperbola ako je:

U slučaju elipse i hiperbole imamo:

gde je d - dužina prečnika sa tačkom A.
Apolonije je izveo glavni deo o presecima kupe, što je ekvivalentno ovim Dekartovim jednačinama. Činjenice kao što su ove, navode na misao da je analitička geometrija izum starih Grka.

Elipsa, parabola i hiperbola

Razmatraćemo najpre definicije i osnovna svojstva kupe. Neka je dat krug sa prečnikom BC i neka je tačka A van ravni kruga. Kupa je određena skupom linija koje nastaju pomeranjem linije kroz tačku A duž obima datog kruga.

Krug zovemo osnovom kupe. Osa kupe je linija od tačke A do centra osnove. Ako je osa normalna na osnovu kupe onda je kupa prava, kružna, u suprotnom je kosa ili raznostranična. Neka ravan seče kupu u ravni osnove duž DE tako da je prečnik osnove BC normalan na DE. Tada trougao ABC u kome leži osa kupe zovemo osovinski trougao.
Neka ravan seče osovinski trougao po pravoj PP'. Prava PP'M je određena upravo presecajućom ravni i osovinskim trouglom. (Kod Apolonija ova bit ne važi ako je kupa raznostranična, tada PM ne mora biti normalna na DE. Normalnost sa javlja samo kod prave kružne kupe ili kada je osovinski trougao normalan na osnovu kupe).
U preseku kupe neka je QQ' tetiva, paralelna sa DE. Odavde ne mora da sledi da je QQ' normalna na PP'. Apolonije je dokazao da QQ' polovi PP' tako da je TQ polovina QQ'.
Nacrtajmo AF paralelno sa PM i neka FÎBM. Zatim nacrtajmo PL ^ PM u ravni preseka. Za elipsu i hiperbolu L je izabrano tako da zadovoljava uslov:

a za parabolu:

U slučaju elipse i hiperbole nacrtajmo P'L. Iz T povučemo TR êêPL tako da seče P'L u R (u slučaju hiperbole položaj tačke P' je na drugoj grani i P'L se proteže do položaja tačke R).
Nakon konstrukcije (ne navodimo Apolonijev dokaz), za elipsu i hiperbolu dobijamo:

Apolonije upućuje na QT kao jednu ordinatu a data jednačina govori da je četvorougao na ordinati jednak pravougaoniku primenjenom na PL. On je takođe dokazao da u slučaju elipse pravougaonik je kraći od pravougaonika PT×PL za pravougaonik SL×RS koji je sličan sa pravougaonikom PL×PP'. Otud naziv elipsa.
U slučaju hiperbole jednačina je ista, ali konstrukcija pokazuje da je TR duže od PL, tako da pravougaonik PT×TR prevazilazi pravougaonik primenjen na PL, pa je PT×PL pravougaonika SL×RS koji je sličan sa pravougaonikom PL×PP'. Odavde naziv za hiperbolu.
U slučaju parabole Apolonije je pokazao da umesto gornje jednačine imamo:

tako da pravougaonik koji je jednak QT2 je tačno pravougaonik primenjen na PL sa širinom PT. Odavde naziv parabola.

Literatura

[1] Dirk J. Strojk, "Kratak pregled istorije matematike", Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, 1969., Beograd
[2] Milan Milanković, "Istorija astronomske nauke", Naučna knjiga, 1979., Beograd
[3] Miloš Radojčić, "Elementarna geometrija", Naučna knjiga, 1961., Beograd
[4] Miloš Radojčić, "Opšta matematika", Nolit, 1950., Beograd
[5] "Matematička čitanka", u redakciji prof. Milenka Sevdića, Zagreb, 1947.
[6] Morris Kline, "Mathematical Thought from Ancient to Modern Times", New York, Oxford University press, 1972.
[7] Howard Eves, "An Introduction to the History of Mathematics", Copyright 1964. by Holt, Rinehart and Winston Inc.

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi