Geometrija horizonta

Visina linije horizonta

Jedna od takvih zabluda je da linija horizonta uvek leži u visini očiju. Čak i kada se penjemo na veću visinu i ona se penje zajedno sa nama. Na primer, ako se posmatrač nalazi u avionu na dovoljno velikoj visini, izgledaće mu da svaka tačka na zemlji leži ispod linije horizonta. To je optička varka. Na sledećoj skici primetimo posmatrača koji stoji na ravnom zemljištu i posmatrača koji leti balonom.

 
Slika 1. Spuštanje horizonta

U tački C nalazi se posmatračevo oko na visini CD nad Zemljinom površinom. Vidni zraci imaju pravce tangenti m i n koje u tačkama M i N redom dodiruju krug koji nam u ovom slučaju predstavlja deo Zemljine površine. Dakle, tačke M i N su na liniji horizonta, odnosno pripadaju granici vidljivog dela Zemljine površine. Dalje od tih tačaka Zemlja se nalazi ispod vidnog zraka.
Oko drugog posmatrača nalazi se u tački F. Uočavamo da je povećanje visine praćeno udaljavanjem linije horizonta. U ovom slučaju tangente a i b poklapaju se sa vidnim zracima, a tačke u kojima vidni zraci dodiruju Zemljinu površinu su A i B, pa posmatrač ne vidi dalje od tih tačaka.
Specijalan slučaj je kada se oko posmatrača nalazi na visini koja je jednaka nuli u odnosu na Zemljinu površinu. Tada se linija horizonta sažima u tačku u kojoj se nalazi posmatračevo oko. (Neka je to tačka D na našoj slici.) Do toga dolazi jer su vidni zraci tangente koje baš u tački D dodiruju Zemljinu površinu. Ovaj slučaj je teoretski moguć, ali u praksi vrlo redak. Čak i osoba koja leži na tlu posmatra okolinu bar sa visine od 15 do 20cm. Jedino ako se posmatrač nalazi u rovu ili nekom drugom udubljenju, ili pak u podmornici, njegovo oko može biti na visini 0 iznad Zemljine površine. Zato ćemo ovog puta sve nestandardne situacije zanemariti.
Zaključujemo da je linija horizonta uvek ispod nivoa očiju bez obzira na visinu stajališta. Čak možemo definisati i ugao koji se zove ,,spuštanje horizonta’’. Na našoj skici to bi bio oštar ugao koji poluprava k (upravna na Zemljin poluprečnik u tački C) zahvata sa pravom n (tangentnim vidnim zrakom). Zašto nam se onda čini da je linija horizonta uvek u visini očiju?
Ovu optičku varku je odlično opisao i objasnio Edgar Alan Po u ,,Doživljajima Hansa Pfala’’. ,,Pre svega, mene je začudilo to što mi se površina Zemlje učinila udubljenom. Ja sam očekivao da ću je neizostavno videti ispupčenu kad se budem peo uvis; tek sam razmišljanjem našao objašnjenje te pojave. Vertikalna prava povučena od mog balona ka Zemlji činila bi katetu pravouglog trougla čija bi osnovica bila duž od podnožja vertikale do linije horizonta, a hipotenuza duž od linije horizonta do mog balona. Ali, moja je visina bila ništavna u poređenju sa vidnim poljem; drugim rečima, osnovica i hipotenuza zamišljenog pravouglog trougla bile su toliko velike u poređenju sa vertikalnom katetom da sam ih mogao smatrati skoro paralelnim. Zato svaka tačka koja se nalazi upravo pod letačem uvek izgleda da leži ispod nivoa horizonta. Otuda utisak udubljenosti. I to će se produžiti sve dok visina uspona ne postane toliko velika da osnovica trougla i hipotenuza prestanu da izgledaju paralelne.’’\ Potrebno je možda objasniti nekoliko detalja iz ovog odlomka. Recimo, vertikala o kojoj govori pisac, nije prava već duž FD upravna na površinu Zemlje u tački D. Ona predstavlja prvu katetu. Ono što je u tekstu nazvano osnovicom, zapravo je druga kateta. Na našoj slici to je duž DA. Primetićemo, takođe, da autor ugao FDA tretira kao prav, iako on to nije. Ipak, za to ćemo naći realno opravdanje. Ako sa S označimo središte Zemlje, tada je FSA podudaran spuštanju horizonta u tački F. Veličinu tog ugla možemo dobiti iz vrednosti kosinusa : 
cos a = R/(R+h)
gde smo sa a obeležili FSA, sa R poluprečnik Zemlje, a sa h visinu na kojoj se nalazi oko posmatrača. Dobijamo da je ugao a toliko mali da AFD i ADF možemo smatrati veoma bliskim pravom uglu.

Udaljenost horizonta

Pitanje ,,koliko je daleko horizont’’ suviše je uopšteno da bi smo na njega mogli precizno odgovoriti. Naime, udaljenost horizonta zavisi od velikog broja činilaca koji na nju bitno utiču. Neki od njih su: oblik reljefa, visina stajališta, visina posmatrača, atmosferske prilike. Međutim, ovaj problem možemo preformulisati, i dati mu oblik klasičnog, čak i jednostavnog, geometrijskog zadatka.
Pretpostavimo da čovek prosečne visine stoji na ravnom zemljištu. Horizont je tada krug u čijem se centru nalazi sam posmatrač. Da bi smo odredili udaljenost horizonta, neophodno je naći poluprečnik pomenutog kruga.

 
Slika 2. Udaljenost horizonta

Označimo sa S tačku koja nam na slici predstavlja središte Zemlje, a sa R Zemljin poluprečnik. Označimo sa C tačku u kojoj se nalazi oko posmatrača, sa D stajalište, a sa h visinu posmatračevih očiju u odnosu na tlo. Prave m i n su tangente iz tačke C koje dodiruju Zemljinu površinu u tačkama M i N. Zadatak se svodi na izračunavanje dužine duži CM, odnosno CN. Trougao CMS je pravougli sa pravim uglom kod temena M. Dužinu duži CM dobićemo primenjujući Pitagorinu teoremu.

 CM²=(R+h)²-R²
=R²+2Rh+h2-R²
=2Rh+h2

CM²=h(2R+h).

Kako je visina posmatračevog oka veoma mala u odnosu na Zemljin prečnik, to umesto 2R+h možemo u izraz uključiti činilac 2R, bez bojazni da ćemo značajno izmeniti rezultat. Time će se i formula uprostiti:

 CM²=2Rh
CM= . 

Poluprečnik Zemlje iznosi 6378km, ali ćemo zbog jednostavnijeg računanja u formulu uključiti R=6400km. Tada je

CM=
CM=80 ·
CM=113,14 .

Možemo smatrati da se udaljenost horizonta na Zemlji računa po sledećoj jednostavnoj formuli:
udaljenost horizonta=113    (h je izraženo u kilometrima),

a za udaljenost horizonta na bilo kom nebeskom telu važi sledeća formula:

 udaljenost horizonta= 

gde je R poluprečnik određenog nebeskog tela, a h visina oka posmatrača. Ako pretpostavimo da se oko odraslog čoveka nalazi na visini od 1.7m odnosno 0.0017km nad Zemljinom površinom, dobijamo da je: 
udaljenost horizonta=113   km
=4.66 km .

Ovaj račun je geometrijski veoma uprošćen, ali zato ne smemo zanemariti fizičke faktore koji utiču na udaljenost linije horizonta. Najvažniji među njima je atmosferska refrakcija. Prelamanje svetlosnih zrakova u atmosferi povećava udaljenost horizonta za 1/15 izračunate udaljenosti; možemo računati za oko 6%. Kada taj procenat dodamo rezultatu do kog smo prethodno došli, dobićemo preciznije rešenje:

 4.66+0.06∙4.66=4.94km .

Dakle, odrastao čovek prosečne visine koji stoji na ravnom zemljištu, vidi one tačke Zemljine površine koje su od njegovog stajališta udaljene najviše 4.94km.
Međutim, taj broj od 6% je takođe samo prosek. ,,Udaljenost horizonta se unekoliko uvećava ili umanjuje zavisno od mnogih uslova, i to se ona

Sastaju li se šine?

Ako se nalazimo na pravom putu ili pruzi i gledamo u daljinu, učiniće nam se da se put, odnosno pruga, postepeno sužavaju. Ivice puta u daljini će se približiti, svetiljke kraj puta smanjiti, a šine izgledaju kao da će se sastati. Naravno, realno se ništa od toga ne dešava. Ali zašto imamo taj privid?
Podudarni predmeti izgledaće nam različiti u zavisnosti od toga koliko su od nas udaljeni. Predmete koji su daleko vidimo pod manjim vidnim uglom nego njima podudarne predmete koji su blizu. Zato nam se daleki predmeti čine manji. ,,Svaki predmet pretvara se pritom u jedva primetnu tačku, premalu za čovečje oko, u mrlju bez dimenzija i oblika’’\ ako ga posmatramo pod uglom od 1’. Osobina normalnog čovečjeg oka je da prestane da razlikuje konture predmeta ako ga vidi pod ovim ili manjim uglom. Zato se taj ,,uglovni minut’’ naziva graničnim minutom, ili srednjom granicom oštrine vida. Pitanjem: ,,Čime je uslovljena ova osobina oka’’, bavi se fizika i fiziologija čula vida. Mi ćemo se vratiti ,,geometrijskoj strani te pojave’’. Kada posmatramo izvesne objekte golim okom na njima ne možemo primetiti sve detalje, ili pak ne uočavamo ni same objekte. Ako posmatramo kroz mikroskop ili teleskop za koji kažemo da uvećava 100 puta, mi te iste objekte vidimo pod 100 puta većim uglom. ,,I tada pojedinosti koje se od golog oka kriju iza granice oštrine vida postaju pristupačne našem oku.’’\\
Lako možemo izračunati koliko je od nas udaljeno telo koje vidimo pod uglom od 1’. Ustvari, mi računamo udaljenost od oka na kojoj telo gubi svoj oblik i dimenzije, i postaje tačka. Tu udaljenost izrazićemo u funkciji prečnika samog tela.

 
Slika 7. Vidni ugao tela i granični minut

Neka je rastojanje tela od oka posmatrača d = kD, gde je D prečnik tog tela. Tada je:

 sin 0.5’ = D/(2d)
= D/(2kD)
= 1/(2k)
k = 1/(2∙sin0.5’)
k = 1/(2∙sin(0.5∙1/60))
k = 1/(2∙sin(1/120))
k ≈ 3438 .

Dakle, udaljenost tela prečnika D koje vidimo pod uglom od 1’, iznosi 3438∙D . Tako, na primer, nećete raspoznati lice čoveka na udaljenosti od 200m. Rastojanje između očiju čoveka iznosi samo 3cm, pa se već na udaljenosti na oko 100m oči stapaju u jednu tačku.
Zanimljivo pitanje je: Možemo li videti tačku u kojoj se sastaju šine?
Analiziraćemo rešenje: Da bi došlo do spajanja šina, potrebno je da realan razmak među šinama posmatramo sa tako velike udaljenosti, da vidni ugao bude jednak 1’. Jedino pod tim vidnim uglom svi oblici se pretvaraju u tačku, pa to važi i za prugu. Ako nam je poznat razmak između šina, nije teško izračunati udaljenost te tačke. Problem je u tome da li je horizont dovoljno daleko, odnosno da li se tačka stapanja nalazi ispred ili iza horizonta.
Na našim prugama, širina normalnog koloseka iznosi 1.435m. Pretpostavimo da se nalazimo na ravnom zemljištu, i da je pruga prava. Tada je udaljenost tačke stapanja:

 d = 3438∙1,435m ≈ 4933m ≈ 4.93km .

Udaljenost horizonta u ovom slučaju prethodno smo izračunali, i ona iznosi 4.94km. Zaključak je da možemo videti tačku spajanja šina.
Međutim, širina pružnog koloseka u Rusiji na primer, iznosi 1.52m. Pod istim uslovima kao u prethodnom slučaju, šine će se sastati na udaljenosti:

 d1 = 3438∙1.52m ≈ 5225m ≈ 5.22km .

Ta tačka se nalazi iza linije horizonta pa je ne možemo videti. Ona će postati vidljiva ako izmenimo uslove:

• Ako je oštrina vida posmatrača oslabljena, pa se za njega predmeti slivaju u tačku kad ih vidi pod izvesnim uglom većim od 1’.
• Ako pruga nije horizontalna.
• Ako se posmatrač nalazi na određenom uzvišenju.

Kod trećeg uslova potrebno je izračunati kolika je najmanja visina na kojoj se može naći oko posmatrača, tako da on može da vidi spajanje šina. Nju ćemo pronaći preko formule za udaljenost horizonta:
 5.22 = 
5.222 = 2Rh
h = 5.222/(2∙6400)
h = 0.00213km
h = 2.13m .

Ako želimo da nam udaljenost horizonta bude bar onolika kolika je udaljenost tačke spajanja šina, posmatračevo oko se mora naći bar na visini od 2.13m. U tom slučaju tačka spajanja šina biće na samom horizontu.

Horizont na Mesecu

Formula koju smo izveli za izračunavanje udaljenosti horizonta, biće valjana bez obzira na kom se nebeskom telu nalazimo. Ona je uvek jednaka gde je h visina očiju posmatrača, a R poluprečnik odgovarajućeg nebeskog tela.
Ako bi smo se nalazili na nekoj Mesečevoj ravnici, udaljenost horizonta bila bi jednaka:

 = 2.44km
gde je 2R=3500km, a h=1.7m.
Na Zemlji nema takvih oblika reljefa koje bi smo mogli makar uporediti sa reljefom Meseca. Reljef Meseca karakterišu takozvani prstenasti planinski venci, a jedan od najvećih je Kopernikov krater. Njegov spoljni prečnik iznosi 124km, a unutrašnji 90km. Najviša tačka bedema nalazi se na 1500m visine u odnosu na dno kotline. Pokušaćemo da otkrijemo da li iz sredine unutrašnje kotline možemo videti prstenasti greben.
Neka je a spoljašnji prečnik kratera, a=124km.
Neka je b unutrašnji prečnik kratera, b=90km.
Neka je H visina najviše tačke bedema, H=1500m=1.5km.
Neka je h visina očiju posmatrača, h=1.7m=0.0017km.
Potrebno je prvo izračunati udaljenost horizonta za greben bedema, odnosno za visinu od 1.5km. Označimo je sa d1.

d1 =
d1 =  = 

= 72.46km . 

Zatim ćemo udaljenosti d1 dodati udaljenost horizonta na Mesecu za čoveka srednjeg rasta koji stoji na ravnom tlu. To je d2=2.44km koje smo prethodno izračunali.

 d1 + d2 = 72.46km + 2.44km ≈ 75km

Dakle, 75km je najveća udaljenost sa koje bi čovek, stojeći u kotlini, mogao da vidi greben.

Slika 8. U Mesečevom krateru

Kako je centar kotline, u kome se nalazi posmatrač, udaljen od ruba kratera 45km, to je sasvim moguće videti greben iz centra kotline.

Mesec na horizontu

,,Matematika se tokom cele svoje istorije ne može odvojiti od astronomije’’… ,,Numerička astronomija je veoma napredovala na Istoku u epohi koja je neposredno prethodila helenističkoj, i to naročito u Mesopotamiji u poznoasirskoj i persijskoj epohi.’’ ,,Za matematičare je kretanje Meseca bio jedan od najtežih, ali i najinteresantniji astronomski problem, i to kako u stara vremena tako i u XVIII veku. Vavilonski (,haldejski’) astronomi uložili su mnogo truda u ispitivanje Mesečevog kretanja.’’\ Među naučnicima XVIII veka koji su se posvetili ovom problemu, najistaknutiji su Ojler i Njutn.
Međutim, mi se nećemo baviti niti efemeridama, niti problemom triju tela Sunce, Mesec, Zemlja. Ukazaćemo samo na jednu neobičnu pojavu koja se lako uočava posmatranjem Mesečevog kretanja sa Zemlje golim okom. Svako od nas je mogao da primeti ,,da je pun Mesec, kad je nisko nad horizontom, znatno veći nego kad stoji visoko na nebu. Razlika je toliko velika da je teško ne zapaziti je. To je isto i sa Suncem: poznato je koliko je veliki Sunčev kotur na zalasku ili u zoru’’.\\ Ova pojava je veoma zagonetna jer ,,nebeska tela, kad ih posmatramo pri izlasku ili zalasku, ne samo da nam nisu bliža nego su čak dalja od nas (za veličinu Zemljinog poluprečnika). To je lako razumeti iz sledeće slike: u zenitu posmatramo nebesko telo iz tačke A, a na horizontu iz tačke B ili C.’’\\\

Slika 9. Mesec u zenitu i na horizontu

Zašto se onda Mesec uvećava kad se približava horizontu? Nije dovoljno što smo uočili problem. Potrebno je ,,objašnjenje, a ne samo registracija nebeskih pojava.’’\\\\ Da bi smo došli do odgovora, izmerićemo vidni ugao Mesečevog kotura na horizontu i u zenitu. Dobićemo uglove iste veličine, oko 30’. Ukoliko se merenja vrše izuzetno preciznim instrumentima, pokazuje se da je vidljivi prečnik Meseca ,,čak i manji kad se Mesec nalazi blizu horizonta usled toga što se zbog refrakcije Mesečev kotur vidi nešto spljošten.’’\\\\\ Sada je već jasno da se radi o optičkoj varci. Iluzija smanjenja i povećanja nebeskih tela prilikom njuihovog kretanja po nebeskom svodu, i postoji zato što svod ,,ne izgleda kao polusfera u geometrijskom smislu reči već kao sferna kalota (kapa) čija je visina dva do tri puta manja od poluprečnika osnove. Do toga dolazi zato što pri običnom položaju glave i očiju za horizontalna i njima bliska rastojanja stičemo utisak da su veća u poređenju sa vertikalnim rastojanjima; u horizontalnom pravcu predmet posmatramo pravo, a u svakom drugom podignutim ili spuštenim pogledom. Ako Mesec posmatramo ležeći na leđima, on će nam, naprotiv, izgledati veći kad je u zenitu negoli kad je nisko nad horizontom. Pred psihologe i fiziologe se postavlja zadatak da objasne zašto vidljive dimenzije predmeta zavise od naših očiju.’’\

Sledeća slika objasniće uticaj prividne spljoštenosti nebeskog svoda na veličinu nebeskih tela u raznim njegovim delovim

Slika 10. Uticaj spljoštenosti nebeskog svoda 

,,Mesečev kotur uvek vidimo pod uglom od 30’, bilo da je Mesec na horizontu ili u zenitu. Ali naše oko ne posmatra taj kotur uvek na jednom istom otstojanju: Mesec u zenitu primiče nam se na manje otstojanje negoli kad je na horizontu i zato nam njegova veličina kad je u ta dva položaja ne izgleda ista – unutar jednog istog ugla krug (koji je upisan u taj ugao) je manji što je god bliži temenu.’’\\
Postoji jednostavan način da se shvati da se Mesec na horizontu realno ne uvećava. Tokom kretanja Meseca po nebeskom svodu ni u jednom trenutku na Mesečevom koturu ne možemo uočiti neki detalj više, neku pojedinost koja se u ostalim položajima Meseca ne vidi. To znači da nema uveličavanja kakvo je moguće, na primer, gledanjem kroz dvogled, odnosno, nikad se ne uvećava niti smanjuje vidni ugao pod kojim gledamo nebesko telo. Svako drugo uvećanje je za nas ,,potpuno beskorisna optička varka.’’ 

Nekoliko reči za kraj

 Dok smo još bili mali, i nismo znali da ćemo se u životu baviti matematikom, čitali smo, ili su nam čitali, priču o Hajdi. U toj priči postoji jedan veoma upečatljiv deo, bar je meni ostao u takvom sećanju, u kome Hajdi tuguje. Dok je živela u gradu, sa prozora svoje sobe mogla je da vidi samo ulice i krovove kuća. Zato je odlučila da se popne na ,,crkveni toranj sa zlatnom loptom na vrhu’’ ne bi li odatle konačno ugledala brda, livade i pašnjake, i dedinu kućicu. I sama sam tada očekivala da će na ovaj način Hajdi zadovoljiti svoju želju. Međutim, Frankfurt, u kome je tada živela, samo je 180km udaljen od planine Švarcvald na kojoj je bio njen deda.
Kada sam nedavno čitala knjigu J. Pereljmana ,,Zanimljiva geometrija’’, i to baš odeljak o horizontu, setila sam se Hajdi. Problem koji je ona imala, geometrijski je sasvim jasan, a neizvesnost u kojoj se nalazila na žalost nije imala smisla. Ipak, razlog zašto sam odabrala ovu temu nije da se obezvrede dečija nadanja, već me je, naprotiv, podstakla ta tanka povezanost sa njima.

LITERATURA:

[1] J.PERELJMAN, Zanimljiva geometrija, Društvo matematičara, fizičara i astronoma SR Srbije, Beograd, 1978.

[2] ŽARKO DADIĆ, Razvoj matematike, Ideje i metode egzaktnih znanosti u njihovou povjesnom razvoju, Školska knjiga, Zagreb, 1975.

[3] KOLEKTIV AUTORA, Enciklopedija elementarne matematike za učenike škola II stupnja, Zavod za izdavanje udžbenika SR Srbije, Beograd, 1968.

[4] DIRK J. STROJK, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za izdavanje udžbenika SR Srbije, Beograd, 1969.

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi