KURT GEDEL, GENIJE I ČUDAK

Kada je 2000. godine magazin „Tajm“ pravio listu 20 najuticajnijih mislilaca proslog veka, na njoj je bio i Kurt Gedel kao jedan od dvojice matematičara. Kurt Gedel je rođen 1906. godine u Brnu, tada Austrougarskoj monarhiji, danas u Češkoj Republici. Njegovi roditelji bili su austrijskog porekla. Od oca koji je bio suvlasnik jedne fabrike tekstila, nasledio je sklonost za logičko razmišljanje. Mali Kurt, iako je bio stidljiv i nervozan dečak, bio je tako radoznao da su ga ukućani zvali „gospodin Zašto“ (Herr Warum). Zato je njegova majka želela da njen sin što pre počne sa obrazovanjem. I već u desetoj godini ovaj „gospodin“ studira matematiku, veronauku i nekoliko jezika.
U dvadeset petoj završava doktorat iz matematike. Tema je bila osobena – ono što i danas mnogi smatraju najvažnijim dostignućem u matematici 20. veka: teorema koja će postati poznata kao „Gedelova teorema“ ili „Gedelov dokaz“.

Majstor za aksiome

Da bi se bilje shvatio značaj ovog rada podsetimo se kako radi matematika i šta je ova nauka bila do pojave Gedelove teoreme. Pošto matematika barata apstraktnim pojmovima, činjenice ne može da utvrđuje pomoću ogleda kao što se radi u drugim naukama. Matematičari koriste „dokaze“ – postupke kojima se utvrđuju činjenice poštujući logičko rasuđivanje. Ali, i ti postupci moraju da imaju neki koren, polaznu tačku. To su takozvani aksiomi, osnovne pretpostavke koje moraju da budu neprotivrečne, nezavisne i potpune. Aksiomi se ne dokazuju. Aksiom je, recimo, tvrdnja da kada sabirate dva broja nije važno koji je prvi, a koji drugi. Kada se jednom aksiomi napišu, da bi se utvrdilo da li je neka tvrdnja istinita, proverava se da li poštuje postojeće aksiome. Ovakav matematički postupak uveli su još stari Grci pre 2500 godina i kroz istoriju se pokazao kao ispravan. Na ovim osnovama matematika je konačno uobličena krajem 19. veka. Stvoreni su takozvani formalni sistemi (najbolji primer bila je Raselova i Vajthedova „Principia Mathematica“) u kojima teoreme, sledeći stroga pravila logičkog zaključivanja, niču iz aksioma kao grane iz stabla drveta. Smatralo se da je jedina teškoća koja može da spreči nalaženje odgovora na odredjeno pitanje nedostatak ili zanemarivanje nekog aksioma. Trebalo je samo dodati nedostajuće aksiome i teškoća bi bila rešena.
Ali, Gedelovo začuđujuće i zbunjujuće otkriće, objavljeno 1931. godine, pokazalo je da su skoro stogodišnji napori najvećih svetskih matematičara osuđeni na propast. On je oborio ovakvo formalisičko verovanje i zauvek promenio shvatanje matematike. Neobične posledice, kako je Gedel pokazao, nastaju kada se matematički objektivi upere na samu matematiku.
Njegova teorema kaze da je u nekim slučajevima nemoguće naći dovoljno aksioma da bi moglo da se odgovori na sva pitanja. Matematičko saznanje predodređeno je da zauvek ostane delimično nepotpuno (nekompletno). Zato se njegova teorema izvorno zvala „teoreme nekompletnosti“. Čak i gore od toga, on je pokazao da je jedno od pitanja na koje ne može da se odgovori i to da li je izabrana grupa aksioma za neki dokaz pravilno odabrana ili se u njoj krije neka protivrečnost. Pre Gedelove teoreme svi su verovali da je matematika, vazna alatka prirodnih nauka, jedina nauka koja može da pruži apsolutnu istinu i da je matematički postupak jedini put do savršenog saznanja. Na neki način, to i jeste tako. Pitagorina teorema vazi i danas u nepromenjenom obliku kakav je imala pre 3000 godina i takva će ostati. Suprotno drugim naukama, gde se teorije vremenom menjaju ili čak odbacuju, kad matematika jednom utvrdi da je nešto tačno, to zauvek ostaje tako. Gedel je, u stvari, otkrio da ni matematika nije savršena nauka i da nije imuna na pitanja na koja ne može tačno da odgovori. Njihova tačnost samo je pitanje uverenja.

Marsovci, pomagajte!

„Gedelov dokaz“ sastoji se zapravo od dve teoreme. U prvoj se dokazuje da je nekompletna bilo koja teorija koja uključuje prirodne brojeve (1, 2, 3, 4, ... ). U drugoj teoremi Gedel tvrdi da se takve teorije ne mogu dokazati unutar istog sistema aksioma. Za dokazivanja ovakvih teorema polazni aksiomi su nedovoljni, potrebno je izaći u neki veći sistem aksioma. Ali, dokazivanje u većoj teoriji takođe zahteva jos veću teoriju – i tako u nedogled.
Jedan od načina da možda shvatimo o čemu se radi je misaoni ogled koji nije čisto matematički. Zamislimo da se na nekoj udaljenoj planeti (Marsu, na primer), takođe pišu udzbenici matematike. Pretpostavimo da, nekom čudnom slučajnošću, svi simboli koje Marsovci koriste da bi napisali matematičke knjige izgledaju kao naši brojevi od 0 do 9. Zato kada Marsovci u svojim udzbenicima razmateraju neko od čuvenih otkrića, recimo aksiom koji mi pripisujemo Euklidu i koji glasi : „Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva“, oni ga mozda iskazuju ovako : 84453298445302152010024887950234. Ono što nama izgleda kao jedan veliki tridesetdvocifreni broj, za Marsovce uopšte nije broj, nego iskaz. On Marsovcima govori da postoji beskonačnost prostih brojeva, isto tako jasno kao i nama pomenutih pet reči.
Sada zamislimo da želimo da pričamo o prirodi svih matematičkih teorema. Ako pogledamo u marsovske udzbenike, sve te teoreme izgledaće nam kao brojevi. Znači da možemo da razvijemo i jednu podrobnu teoriju o tome koji brojevi mogu da se pojave u marsovskim udzbenicima, a koji se nikada neće pojaviti. Naravno, ne mora doslovno da se radi o našim brojevima, već o nizu simbola koji nama izgledaju kao brojevi.
Na temelju ovako izokrenutog gledišta Gedel je izgradio pravu čaroliju. Njegov trik sastoji se u tome da sada zamislimo da u marsovskim udzbenicima proučavamo brojeve koji zu zapravo teoreme. Nazovimo ih skraćeno „M. P.“ brojevima (od Martian – Producible numbers). Onda možemo da postavimo pitanja : „da li je neki broj 8030974, M. P. broj, ili nije? To jest, da li će izraz 8030974 ikada da se pojavi u marsovskim udzbenicima matematike jer je teorema? Razmišljajući veoma pažljivo o ovom sasvim nerealnom scenariju, Gedel je shvatio da se osobine M. P. brojeva ne razlikuju od tako uobičajenih predstava kao što su „prost broj“, „neparan broj“ i tako dalje. To je značilo da zemaljski teoretičari, koristeći svoje uobičajene postupke, mogu da razmatraju i takva pitanja kao što je „Koji brojevi su M. P. brojevi, a koji nisu?“ i slično.
I tako, u jednom od najoštroumnijjih zaključivanja u istoriji matematike, Gedel je osmislio izvanredan iskaz koji jednostavno glasi : „X nije M. P. broj“, gde je X broj koji vidimo kada je izraz „X nije M. P. broj“ preveden na marsovski matematički jezik. Kada se izraz „X nije M. P. broj“ prevede na marsovski sistem znakova izgledaće nam samo kao dugački niz cifara, to jest, vrlo veliki broj. Ali taj niz marsovskih znakova je i naš zapis za broj X, o kome i sam iskaz govori. Ovo znači da nije moguće potvrditi tačnost iskaza u datom sistemu.
Ako niste shvatili, ne mari. Kada govorimo o uvrnutosti, ovo je bas uvrnuto! Ali, uvrnutost je bila Gedelova osobenost: uvrnost prostor – vremena (Gedel je otkrio kosmološka rešenja Ajštajnovih rešenja gravitacije), uvrnutost u razmišljanju, uvrnutost u gotovo svemu.
Dakle, razmišljajući o teoremama kao o šarama sastavljenim od niza raznih simbola (znakova), Gedel je otkrio da se unutar samih teorema krije ono što ih pobija, da i same izražavaju da su nedokazive (nepotpune). Posledice ovog zapleta bile su zapanjujuće kako za Marsovce tako i za vodeće matematičare: Davida Hilberta, osnivača formalističkog pokreta, Bertranda Rasela i Alfreda Vajtheda. Jer, oni su se svim srcem nadali da će jednim sistemom moći da se obuhvate svi istiniti iskazi u matematici.
Gedelova teorema ne tvrdi da je sama matematika nepotpuna, već svaki sistem koji pokušava da obuhvata sve istine u matematici u vidu konačnog skupa aksioma i pravila. Međutim, za vodeće matematičare iz tridesetih godina proslog veka i ovo saznanje je bilo pravi šok jer je oborilo njihovo poimanje matematike i sveta.
Gedelov tekst iz 1931. godine proizveo je još nešto: teoriju takozvanih rekurzivnih funkcija koje su danas osnova moćne računske teorije. Jer u srži njegovog rada bio je računski program za proizvodnju M. P. brojeva, na koji veoma podseća programski jezik Lisp, osmišljen skoro tri decenije kasnije.

Gedelova teorema, ali stvarno

Pokušao sam u dosadasnjem tekstu na interesantan i šaljiv način da kažem nešto o Gedelovoj teoremi. Sada ću reći nešto o Gedelovoj teoremi, na način koji će se svideti pravim matematičarima.
Gedelova teorema o potpunosti je teorema matematičke logike koju je dokazao Kurt Gedel u svojoj doktorskoj disertaciji 1929. i kasnije u radu objavljenom 1930. U svom najpoznatijem obliku, ona tvrdi da je u predikatskom računu prvog reda svaka logički valjana formula dokaziva. Ovo je jedna od najvažnijih teorema matematičke logike, jer pokazuje da klasičan predikatski račun "sadrži" sve zakone logike koji se mogu iskazati predikatskim formulama. Gedelova teorema o potpunosti u osnovi glasi :

Postoji račun predikatske logike prvog reda takav da za svaki skup formula Γ i svaku formulu φ važi: φ sledi iz Γ ako i samo ako se φ može izvesti iz Γ u ovom računu

Teorema o potpunosti ustanovljava temeljnu vezu između semantike (teorije modela, koja izučava šta je tačno u različitim interpretacijama) i sintakse (teorije dokaza, koja izučava šta se može dokazati u pojedinačnim formalnim sistemima). Ako označava semantičku posledicu i izvedivost u računu, Gedelova teorema glasi:

Izvorni Gedelov dokaz se danas uglavnom više ne koristi. Umesto njega, obično se upotrebljava sledeća „Osnovna teorema logike prvog reda", koju je formulisao Henkin 1949 :

“Svaki konzistentan skup formula ima model”

U matematičkoj logici, Gedelove teoreme o nepotpunosti su dve čuvene teoreme o ograničenjima formalnog sistema, koje je dokazao Kurt Gedel, 1931 godine. Ove teoreme pokazuju da ne postoji potpun i konzistentan formalni sistem koji korektno opisuje prirodne brojeve i da nijedan dovoljno strog sistem koji opisuje prirodne brojeve ne može da potvrdi svoju sopstvenu konzistentnost. Pri tome, u matematičkoj logici, neki formalni sistem smatra se konzistentnim ako ne sadrži kontradikcije (za svaku propoziciju φ ne mogu u isto vreme i φ i njoj protivrečna φ biti dokazive), a sistem je potpun ako je dovoljan da se na njemu izgradi odgovarajuća teorija u celini. Ove teoreme su široko prihvaćene kao dokaz da je nemoguće ostvariti Hilbertov program pronalaženja potpunog i konzistentnog skupa aksioma koji bi važio za celu matematiku. Ili drugim rečima, nemoguće je pronaći neki univerzalni sistem aksioma iz kojeg bi automatski sledio i dokaz o neprotivurečnosti teorije koja bi bila izgrađena na bazi tog sistema. Naprotiv, neprotivrečnost nekog sistema aksioma svodi se na neprotivrečnost nekog drugog sistema aksioma koji se već smatra neprotivrečnim. Kao primer toga može se navesti odnos između euklidske i neke od varijanti neeuklidskih geometrija, recimo geometrije Lobačevskog. Naime, neprotivrečnost geometrije Lobačevskog, koja je nastala negacijom Euklidovog petog postulata (aksiome paralelnosti) , dokazuje se u stvari neprotivrečnošću euklidske geometrije, gde takođe važi i obrnuto. S druge strane, problem nezavisnosti sistema aksioma svodi se na problem neprotivrečnosti. Ili u konkretnom primeru, nezavisnost Euklidovog petog postulata u odnosu na ostale postulate euklidske geometrije dokazuje se neprotivrečnošću geometrije Lobačevskog. Gedelova prva teorema o nepotpunosti je verovatno najslavniji rezultat u matematičkoj logici. Ona tvrdi da:

Za bilo koju formalnu teoriju koja potvrđuje osnovne aritmetičke istine, može se konstruisati aritmetičko tvrđenje koje je istinito ali nije i dokazivo unutar same te teorije. To znači, da bilo koja teorija koja je sposobna da izrazi elementarnu aritmetiku ne može biti u isto vreme i konzistentna i potpuna.

Gedelov matematički dokaz o postojanju Boga

Mnogi matematičari, fizičari i astronomi su religiozni, biolozi mnogo ređe, a ekonomisti i psiholozi retko. Izgleda da, što su pitanja kojima se stričnjaci bave bliža samom čoveku, slabije su njihove sklonosti ka veri.
Gedel je bio matematički genije opsednut Bogom i zagrobnim životom (slični su bili Isak Njutn i Blez Paskal). Mislio je da je pomoću logike moguće dokazati i takve nedoumice kao što je pitanje života posle smrti i postojanje Boga. U četiri duga pisma majci naveo je razloge svog verovanja u drugi svet. Negde oko 1970. godine ovaj matematički dokaz o postojanju Boga počeo je da kruži i među njegovim kolegama. Bio je napisan na samo jednoj stranici hartije.

Aksiom 1
(Dihotomija) Osobina je pozitivna ako i samo ako je njena negacija negativna.

Aksiom 2
(Zaključak) Osobina je pozitivna ako nužno sadrži pozitivnu osobinu.

Teorema 1
Pozitivna osobina je logično konzistentna (to jest, moguće je da za nju postoji neki primer).

Definicija
Nešto je nalik Bogu ako i samo ako poseduje sve pozitivne osobine.

Aksiom 3
Biti nalik Bogu je pozitivna osobina.

Aksiom 4
Biti pozitivna osobina je nužno.

Definicija
Osobina P je suština od x ako i samo ako x sadrži P a P je nužno minimalno.

Teorema 2
Ako je x nalik Bogu, onda je biti nalik Bogu suština x.

Definicija
NE(x): x nužno postoji ako ima suštinsku osobinu.

Aksiom 5
Biti NE znači biti nalik Bogu.

Teorema 3
Nužno postoji neko x takvo da je x nalik Bogu.

Otkačeni genije

Kurt Gedel bio je čudak baš kao što su bile čudne i njegove teorije. Predavanja koja je držao na Univerzitetu u Beču od 1933. do 1938. godine bila su loša, nerazumljiva čak i za malu grupu studenata koji su ih pohađali. Patio je i lečio se od depresije, bio je i uobraženi bolesnik. Ovaj izvanredni matematičar oženio se 1938. godine igračicom iz noćnog kluba, sa kojom je napustio Austriju 1939. godine. Da ne bi učestvovao u ratu, beži na Zapad – preko Rusije i Japana! Putuje vozom preko Sibira i brodom od Jokohame do San Franciska. Gedelovi su prešli i celu Ameriku, do Prinstona, gde je Kurt dobio privremeno mesto na novootvorenom institutu za napredne studije. Tamo je već radio Albert Ajnštajn i njih dvojica postaju dobri prijatelji.

Gedel i Albert Ajnštajn

Godine 1942. Gedel doživljava nervni slom. Po izlasku iz bolnice, pored supruge glavni oslonac bio mu je Ajnštajn, sa kojim često šeta i razmenjuje misli o nauci, filozofiji i politici. Krajem četrdesetih godina Gedel je došao do neobičnih rešenja Ajnštajnovih kosmoloških jednačina: ona su dozvoljavala putovanje kroz vreme, u prošlost. Ajnštajn ih je nevoljno prihvatio jer su odbacivala njegov klasični pogled na svet. Ipak, to nije pomutilo prijateljstvo ova dva sasvim različita čoveka. Ajnštajn je bio društven, veseo, krasio ga je zdrav razum. Gedel je bio sušta suprotnost. Slagali su se u nečemu što je obojici bilo važno: nepokolebljivo su stremili po suštini stvari. Zato, kada nije video budućnost u Ajnštajnovoj teoriji objedinjenog polja, Gedel je odbio da radi na njoj zajedno sa velikim fizičarem, iako je on na nju potrošio poslednjih nekoliko decenija života (pokazalo se da je Gedel bio u pravu). Godine 1953. dobija stalno mesto profesora matematike na institutu u Prinstonu.
U starijim godinama, posle odlaska u penziju, Gedel je postao paranoičan, plašio se zaraze bacilima i da će biti otrovan. Njegova supruga Adela morala je pre njega da proba svako jelo. Bolovao je i od čira u stomaku. Gedel je ostao upamćen i po tome što je brižljivo čistio svoj pribor za jelo i nosio masku sa rupama za oči gde god je išao. Umro je u prinstonskoj bolnici u 72. godini života, najviše zbog toga što je odbijao da jede.
Ipak, Gedelov rad ostavio je dubok trag ne samo u matematici. Čitavog života beležio je svoje matematičke misli. Neki od njegovih radova toliko su složeni da se veruje da će proći vekovi pre nego što se odgonetnu, potvrde ili ospore. Pre njega matematičari, kao uostalom i naučnici u nekim drugim oblastima, smatrali su da stoje na samim vratima konačne istine. Gedel je doneo otrežnjenje: pokazao je da nismo Bogovi, već samo ljudska bića sa ograničenim saznajnim mogućnostima.

LITERATURA

1. G. Vojinović : članak iz Politikinog izdanja, 30. 3. 2007.
2. Vikipedija (Slobodna enciklopedija) : Gedelova teorema o potpunosti
3. Vikipedija (Slobodna enciklopedija) : Gedelova teorema o nepotpunosti

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi