HERON IZ ALEKSANDRIJE - MERENJE

Kontraverze oko perioda kada je Heron živeo

'Stari majstori geometrije nisu bili u stanju da reše problem dve prave linije  (nalaženja glavnog proporcionala među njima) običnim geometrijskim metodama, pošto je problem po prirodi ''čvrst''... ali korišćenjem mehaničkih sredstava uspeli su , na divan način, da svedu pitanje na praktičnu i podesnu konstrukciju , kao što se može videti  u Eratostenesovom  Mesolabonu i u mehanikama Filona i Herona ... Nikomedes je problem takođe rešio uz pomoć konkavne krive, sa kojom je takođe podelio ugao na tri dela.'

Papus dalje tvrdi da će on dati četiri rešenja, od kojih je jedno njegovo; prvo, drugo i treće on opisuje kao rešenja Erastotenesa, Nicomedesa i Herona. Ali u jednoj od prethodnihj rečenica on pominje Filona zajedno sa Heronom , a mi preko Eutocijusa znamo da je Heronovo rešenje praktično isto kao i Filonovo. Zato možemo zaključiti  da je pod trećim rešenjem Papus stvari mislio na Filonovo reženje, i da Heronovu Mehaniku pominje samo zato što je to bilo pogodno mesto za pronalaženje istog rešenja.

Još jedan argument je baziran na činjenici da su izvodi iz Heronove Mehanike dati na kraju Papusove knjige VIII, onakve kakvu je mi znamo, uvedeni uz opasku autora  da su kopije Heronovih radova iz kojih je tekst uzet bili oštećeni i bez početka i kraja. Ali izvode je izgleda dodao ne Papus, već neki kasniji pisac, pa argument 'pada u vodu'.

Pošto su vremenske granice svedene na period  od 150 godine p.n.e. do 250 godine n.e., ostaje nam samo  da definišemo, što je bolje moguće, vezu između  Herona i ostalih matematičara, koji su živeli otprilike u isto vreme. Ovaj metod nas je doveo do najnovijih pisaca o ovoj temi (Tittel) koji smeštaju Herona  ne mnogo posle 100-te godine p.n.e. dok drugi, koji se oslanjaju pre svega na poređenje tekstova o Ptolomeju i Heronu, dolaze do zaključka da je Heron živeo posle Ptolomeja i pripadao drugom veku n.e.

U pogledu razlika između ovih rezultata, bilo bi zgodno sumirati sve dokaze da bi se utvrdilo što tačnije početno vreme, i da se odredi koliko je to daleko u poređenju sa krajnjim vremenom. Počinjemo sa vezom  između Herona i Filona. Smatra se da je Filon generacijski odmah posle Ctesibiusa, zato što su izgleda mašine za izbacivanje projektila koje su konstruisali Ctesibius i Filon bile istovremeno dostupne  ekspertima za inspekciju; zato zaključujemo da Filonovo vreme ne može biti kasnije od kraja drugog veka p.n.e. (Ako je Ctesibius bio najplodniji pre 247 godine p.n.e. , argument ukazuje da se pre radi o početku nego o kraju  drugog veka.) Dalje, Heron je navodno bio Filonov mlađi savremenik i to na osnovu sledećeg: 1) Heron pominje 'stacionarnog-robota' koga je Filon predstavio u priči o Naupliusu, što je takođe uočio i Tittel dodajući i napomene o istoj priči kod nekoliko Heronovih savremenika. Ali pažljivim proučavanjem celog pasusa, čini se da kasnija prezentacija nije bila Filonova, i da je Heron Filona uključio u  'stare' tvorce 'robota' a ne u svoje savremenike. 2) Drugi argument iznet da pokaže da je Filon bio Heronov savremenik je činjenica da je Filon kritikovao detalje konstrukcije 'izbacivača projektila' koje je našao kod Herona , odakle i zaključujemo da je Filon imao Heronov rad pred sobom. Ali ako je Heronova Βελοποιϊκα zasnovana na Ctesibiusovom radu, sasvim je moguće da Filom misli na Ctesibiusa.

Problem sa početnim vremenom je veza po kojoj Heron stoji odmah do Posidoniusa. U Heronovoj Mehanici, postoji definicija 'gravitacionog centra' koju je Heron pripisao Posidoniusu (Stoik). Ali ovo teško da može da bude Posidonius iz Apameje, Cicerov učitelj, zato što sledećom rečenicom Heron, navodeći osobenost koju je podvukao Arhimed u vezi sa ovom definicijom, kao da implicira da je pomenuti Posidonius živeo pre Arhimeda. Ali Heronove Definicije sadrže definicije geometrijskih predstava koje je za Posidoniusa iz Apameje ili Rodosa zapisao Proklus, posebno definicije 'figure' i 'paralelnih linija'. Posidonius je živeo u periodu od 135 do 51 godine p.n.e. i oni koji podržavaju teoriju o Heronovom ranijem vremenu mogu samo da ustvrde da ili Posidonius nije prvi dao ove definicije ili, ako jeste, i ako ih je sam Heron uključio u svoje Definicije  a ne neki kasniji izdavač, onda Heron nije mogao živeti pre prvog veka p.n.e.

Opet, ako je Heron živeo početkom prvog veka p.n.e., neverovatno je da ga Vitruvius nigde ne pominje. De Architectura se, čini se, pojavila 14 godine p.n.e. i u predgovoru Knjige VII Vitruvius daje listu autoriteta za mašine čije je izvode uzeo. Lista sadrži dvanaest imena sa svim detaljima; ali dok uključuje Arhitasa(drugi), Arhimeda(treći), Ctesibiusa(četvrti), i Filona iz Vizantije(šesti), on uopšte ne pominje Herona. Takođe nije moguće uspostaviti vezu između Herona i Vitruviusa; čini se da ima više razlika neo sličnosti. Možemo pomenuti nekoliko razlika. Vitruvius koristi 3 kao vrednost za p , dok Heron  uvek koristi Arhimedovu vrednost . Oba pisca uzimaju izvode iz Aristotelove Μηχανικά προβλήματα , ali im je izbor različit. Sredstva koja dva autora koriste za istu svrhu se često razlikuju u detaljima; npr. u Vitruviusovom 'hodometru'  šljunak pada u kutiju na kraju svake rimske milje, dok se u Heronovom hodometru postignuta razdaljina obeležava pokazivačem. Jasno je da je Heronov 'uređaj za vodu' u mnogim aspektima primitivniji od Vitruviusovog; ali, iako su instrumenti različiti, to ništa ne dokazuje.

Sa druge strane postoje dodirne tačke između nekih Heronovih tvrđenja i Rimskog načina merenja zemlje. Columella, (oko 62 godine n.e.) daje određene mere ravnih figura koje se slažu sa formulama koje je koristio Heron, i to za jednakostranični trougao, pravilan šestougao (u ovom slučaju se ne samo formula već i cifre slažu sa Heronovim) i deo kruga koji je manji od polukruga, čija je formula

gde je s dužina tetive i h visina segmenta. Čini se da ovde postoji zavisnost, na ovaj ili onaj način; ali ne isključuje se mogućnost da su dva autora imala zajednički izvor; zato što Heron, kod formule za površinu dela kruga, navodi da je to formula koju su koristili 'precizniji istraživači'(οί άκριβέστερου έζητηκότες).
Na kraju moramo da razmotrimo vezu izmežu Ptolomeja i Herona. Ako je Heron živeo oko 100-te godine p.n.e. onda je to bilo 200 godina pre Ptolomeja (100-178 godine n.e.). Argument koji dokazuje da je Ptolomej došao neko vreme posle Herona se bazira na Proklusovom tekstu po kom je Ptolomej imao primedbe na tačnost metode za merenje prečnika sunca pomoću vodenog sata koja je tada bila u modi. Prema Proklusu, Hiparhus je koristio svoju dioptru u te svrhe, a Ptolomej ga je sledio. Proklus dalje nastavlja:

' Dozvolite da vam predstavimo ne samo opažanja starih već i konstrukciju Hiparkusove dioptre. Prvo ćemo pokazati kako možemo meriti vremenski interval uz pomoć pravilnog isticanja vode, proceduru koju je objasnio Heron-mehaničar u svojoj studiji o vodenom satu.'

Teon iz Aleksandrije ima tekst sličnog sadržaja. On prvo kaže da su najstariji matematičari napravili sud koji je puštao vodu da teče ravnomerno kroz mali otvor na dnu, a na kraju dodaje skoro istim rečima kao i Proklus, da je Heron pokazao kako se sa uređajem manipuliše u svojoj prvoj knjizi o vodenim satovima. Teonov izvor su Papusovi Komentari o Sintaxis, koji je istovremeno koristio i Proklus, kao što pokazuje činjenica da Proklus daje crtež vodenog sata koji se izgleda izgubio u Teonovom prevodu Papusovog rada, ali koji je Papus morao da prenese iz Heronovog rada. Tittel zaključuje da su Herona morali smatrati jednim od starijih pisaca u odnosu na Ptolomeja. Ali ovo izgleda nije dovoljno. Bez sumlje da je Heronov rad bio dobar izvor za opis vodenog sata, ali to ne znači da je Ptolomej govorio baš o Heronovom satu  a ne o nekom ranijem obliku istog instrumenta.

Sasvim drugi zaključak od Tittelovog dat je u članku 'Ptolomej i Heron' koji smo ranije pomenuli. Argumenti su ukratko sledeći: 1) Ptolomej kaže u svojoj Geografiji da su njegovi prethodnici bili u stanju da izmere samo rastojanje između dva mesta (kao što je luk velikog kruga  zemljine kugle) u slučaju gde su dva mesta na istom meridijanu. On tvrdi da je sam izumeo način da se ovo uradi čak i u slučaju kada dva mesta nisu na istom meridijanu niti na istom paralelnom krugu, pod uslovom da su visine polova u oba mesta,  ugao između velikog kruga koji prolazi kroz oba i meridijanskog kruga koji prolazi kroz ova mesta poznati. Heron se u svojoj Dioptri bavi problemom merenja rastojanja između dva mesta uz pomoć dioptre, i uzima kao primer rastojanje između Rima i Aleksandrije. Nažalost, tekst je na nekoliko mesta oštećen i manjkav, tako da se metod ne može rekonstruisati u potpunosti. Ali se zna da je uključivao isto pomračenje meseca iznad Rima i Aleksandrije i crteža putanje koju sunce pravi iznad Rim. Što znači da metod za koji  Ptolomej tvrdi da ga je izmislio, Heron opisuje kao stvar opšte poznat ekspertima i ne mnogo značajniji od drugih tehničkih stvari o kojima se govori u istoj knjizi. Prema tome Heron je morao živeti posle Ptolomeja. (Treba dodati da neki smatraju  da poglavlje Dioptra o kojoj je reč nije povezana sa raspravom, i da ga verovatno nije pisao Heron, već da ga je dodao neki kasniji pisac; ako je to slučaj onda ovaj argument nema važnost. 2) Dioptra  opisana u Heronovom radu je fin i precizan instrument, mnogo bolji od onog koji je Ptolomej imao na raspolaganju. Ako je Ptolomej bio svestan njegovog postojanja , teško da bi se mučio da pravi svoj  nesavršen instrumentza merenje paralakse (ugla konvergencije), pošto je lako mogao da dođe do Heronove dioptre. I zato , ne samo da je Heron morao živeti posle Ptolomeja, već kako se vidi da je tehnika pravljenja instrumenata značajno napredovala u ovom periodu, mora da je ipak živeo dosta posle njega. 3) U svom radu περί ροπών ,Ptolomej je, kao što smo videli, osporio Aristotleov stav da vazduh ima težinu  čak i kada je okružen vazduhom. Aristotel je dokazao eksperimentom  da je sud pun vazduha teži od praznog suda; Ptolomej je, takođe eksperimentom, dokazao da je u prvom slučaju sud sa vazduhom lakši. Ptolomej je onda proširio argumentaciju i na vodu, držeći da voda oko koje je voda nema težinu i da ronilac, bez obzira kako duboko ronio, ne oseća težinu vode iznad njega. Heron tvrdi da voda nema primetnu težinu ni snagu da sabije vazduh u prevrnutom sudu, kada se ovaj pritiska na površinu vode. Kao potvrda ovoga on citira slučaj ronioca koji može da diše na velikoj dubini. On se onda pita koji su to razlozi da ronilac nije ugnjetavan iako je pod neograničenom težinom vode na svojim leđima. Prihvata, zato, Ptolomejev stav kao činjenicu, ma kako čudno zvučala. Ali nije zadovoljan datim objašnjenjem: 'Neki kažu', nastavlja on, 'da je to zato što je voda ravnomerne težine (ίσοβαρές αύτό καθ́ αύτό)' – Ovo je čini se istovetno  Ptolomejevom tvrđenju da voda u vodi nema težinu – 'ali ne daju nikakvo objašnjenje zašto ronioci... 'On sam pokušava da da objašnjenje zasnovano na Arhimedovom. Čini se  zato da je Heronova kritika upućena isključivo Ptolomeju i nikom drugom. 4) Tvrdi se da je Dionisius kome je Heron posveto svoje Definicije izvesni Dionisius koji je bio praefectus urbi  u rimu 301 godine n.e. Argumenti za ovo su  a) Heron se Dionisiusu obraća sa Διονύσιε λαμπρότατε gde λαμπρότατε očigledno odgovara latinskom clarissimus, titula koja se u trećem veku pod Dioklecijanom još nije koristila. Štaviše, ovaj Dionisius je bio curator aquarum i curator operum publicorum, tako da je bio osoba koja je morala da sarađuje sa inženjerima, arhitektama i majstorima za koje je Heron pisao. Na kraju , on se pominje u zapisu koji komentariše poboljšanje u snabdevanju vodom i koji je posvećen 'Tiberinusu, ocu svih voda, i starim izumiteljima veličanstvenih konstrukcija' (repertoribus admirabilium fabricarum priscis viris), izraz koji se ne pominje ni u jednom drugom  zapisu a koji ukazuje na počasti koje je Heron često ukazivao svojim prethodnicima. Ova identifikacija dve osobe koje imenuju Dioniusa je genijalna pretpostavka, ali nema dovoljno dokaza da bi to bilo išta više od toga.

Upravo sumiran rezultat cele istrage pokazuje da Herona treba smestiti u treći vek n.e. i možda malo , ako je to uopšte potrebno, pre Papusa. Heiberg prihvata ovaj zaljučak, za koji se zbog toga, pretppostavljam, može tvrditi da je realan za sada.

Heron bio poznat kao Αλεζανδρεύς (prema Papusu) ili kao Mηχανικός (mehanikus), da bi se razlikovao od drugih osoba istog imena; Proklus i Damianus koriste drugi naziv, dok Papus takođe govori o οί περί τόν Ηρωνα μηχανικοί.

Karakter radova

Heron je bezmalo bio enciklopedijski pisac za teme iz matematike i fizike. Cilj mu je više bila praktičnost nego teoretska kompletnost; razlog za ovo je verovatno njegovo okruženje u Egiptu. Njegova Metrika počinje starom legendom o tradicionalnom poreklu geometrije u Egiptu, a u Dioptri nalazimo jedan od najvećih problema koje je geometrija pokušavala da reši, a to je ponovno određivanje međa na zemlji posle poplave Nila: ' Kada su međe na području uništene do nivoa kada ostanu samo dva ili tri obeležja, onda je potreban plan područja da bi se međe obnovile'. Heron za malo toga u svojim radovima polaže pravo na originalnost; često citira autoritete, ali u skladu sa grčkom praksom, on to češće propušta da uradi i to bez namere da bilo koga dovede u zabludu; samo kada je po sopstvenom mišljenju postigao napredak u odnosu na metode svojih predhodnika, on se potrudi da pomene činjenice; to je navika koja jasno pokazuje , osim u ovim slučajevima, da on jednostavno pokušava da svoje radove izloži uz pomoć metoda koje su po njemu najjednostavnije za razumevanje i primenu. Čini se da je Metrika najbogatija konkretnim referencama na otkrića prethodnika; imena koja se pominju su : Arhimed, Dionisodorus, Eudoxus, Plato; U Dioptri  citira Eratostenesa, a u uvodu Catoprike pominje Platoa i Aristotlea.

Kako je praktičnost Heronovih uputstava ogromna, razumljivo je što su bila omiljena, i podjednako je razumljivo da su se najpopularnija od njih ponovo štampala, menjala ii dopunjavala od strane kasnijih pisaca; ovo je neizbežno kod knjiga koje su kao Euklidovi Elementi, kod Grka bile sastavni deo  grčkog, vizantijskog, rimskog i arapskog obrazovanja vekovima. Knjige o geometriji ili merenjima dozvoljavaju proširivanje povećanjem broja primera, tako da je teško odvojiti Heronove od ostalih kolelcija koje su se pojavile pod njegovim imenom. Hulčovo mišljenje je sledeće: 'Heronovi tekstovi koji su stigli do našeg vremena su autentični utoliko što nose njegovo ime i što su očuvali originalni dizajn i formu Heronovih radova, ali su neautentični iz razloga što su zbog česte upotrebe često ponovo izdavani, prepisivani i prilagođavani  potrebama trenutka.

Lista rasprava

Heronova dela koja su preživela došla su do nas u različitim oblicima. Na grčkom su:

• Metrika , prvo otkrivena 1896 u rukopisu iz jedanaestog ili dvanaestog veka kod Konstantinopolja od strane R.Schöne i izdata od strane njegovog sina H. Schöne (Heronis Opera III Teubbner, 1903)
• O Dioptri, izdata na italijanskom od strane Venturija 1814; Grčki tekst je prvi doneo A.J.H. Vinsent 1858, i kritičko izdanje istog (H. Schöne) je uključeno u Teubnerovu  knjigu III, prethodno pomenutu.
• Pneumatika, u dve knjige , koja se prvo pojavila na latinskom prevodu Komandinusa, objavljena posle njegove smrti 1575; Grčki tekst  je prvo izdao Thevenot u Veterum matematicorum opera Graece et Latine edita (Pariz, 1693), i sada je dostupna u Heronisovoj Operi I ,(Teubner, 1899) izdatoj od strane W. Schmidta.
• O umetnosti kreiranja automata (περί αύτοματοιητικής) ili Automatski teatar, prvo izdanje se pojavila na italijanskom prevodu B.Baldija 1589; Grčki tekst je bio uključen u Tevenotovu Vet. Math. i sada je deo Heronisove Opere I, W. Schmidta.
• Belopoeïca (o konstrukciji mašina za ratovanje), izdanje B.Baldija (Ausburg, 1616), Tevenota(Vet. Math), Köchly i Rüstowa(1853) i Weschera (Poliorcetique des Grecs, 1867, prvo kritičko izdanje)
• Cheirobalistra (Ηρωνος  χειροβαλλίστρας  κατασκευή καί συμμετρία), prerađena od strane V.Proua, Notices et extraits, XXVI 2(Pariz,1877).
• Geometrijski radovi, Definicije, Geometrija, Geodezija,, Stereometrika I i II, Merenja, Liber Geeponicus, izdat od strane Hultscha sa Variae collectiones (Heronis Alexandrini geometricorum et stereometricorum reliquiae, 1864). Ovo izdanje će sada biti zamenjeno izdanjem Heiberga u Teubnerovoj kolekciji (knjiga IV, V) , koja sadrži dosta dodatnog materijala iz već pomenutog Konstantinopoljskog rukopisa, ali nema Liber Geeponicus (osim par izvoda) i Geodezije (koja sadrži samo nekoliko izvoda iz Heronove Geometrije)

Samo su delovi grčkog teksta Mehanike u tri knjige su preživeli, međutim ona postoji  na arapskom (sada izdata na nemačkom, u Heronisovoj Operi, knjiga II od strane L.Nixa i W.Schmidta, Teubner, 1901).

Manji rukopis o mehanici, Βαρουλκός, navodi Papus. Predmet ovog rukopisa je 'pomeranje date težine uz pomoć date sile' , a mašina se sastojala od zupčanika različitog prečnika.

Na kraju Diptra je opis hodometra za merenje rastojanja koje prelazi vozilo sa točkovima, vrsta taksametra, takođe napravljena od zupčanika.

Rad o vodenim satovima (περί ύδρίων ώροσκοπείων) za koji se u Pneumatici kaže da ima četiri Knjige, takođe pominje i Papus. Delovi su sačuvani  u Proklusovim (Hypotyposis, poglavlje 4) i u Papusovim komentarima o Knjizi V  Ptolomejovih Sintaksi koje je obnovio Teon.

Vrlo malo Heronovih komentara o Euklidovim Elementima je preživelo na grčkom (Proklus), ali veliki deo  izvoda  je srećom sačuvan na arapskom u komentarima an-Nairizija, izdatim u (1) latinskoj verziji Gherarda iz Kremone od strane Curtze (Teubner, 1899) i (2) od strane Besthorna i Heiberga (Codex Leidensis 399. 1, od kojih se pet delova pojavilo do 1910). Komentari se odnose na delove Euklidovih Elemenata bar do VIII. 27.

Catoptrica, kako je već pomenuo Ptolomej, postoji u latinaskom prevodu sa grčkog, pretpostavlja se da je to delo Wiliama iz Moerbeke, i uključena je u knjigu II Heronisove Opere , koju je sa uvodom izdao W.Schmidt.

Ništa se ne zna o Camarici ('o lukovima') koje pominje Eutocijus (o Arhimedu, Sfere i Cilindri), o Zygii (uravnoteženost) koju Papus povezuje sa Automatom ili o radu o upotrebi astrolaba koja se pominje u Fihristu.

U ovom radu se bavimo rukopisima sa matematičkim sadržajem, i zato možemo da izostavimo  radove kao što su Pneumatika , Automata i Belopoïca. Prve dve  su međutim interesantne istoričarima fizike zato što govore o pojmovima kompresovanog vazduha, vode ili pare. U Pneumatici će čitalac naći i pojmove kao što su sifon, Heronova fontana, mašine koje se pokreću ubacivanjem novčića, vatrene mašine, vodene-uređaje i mnoge sprave koje koriste silu pare.

 Geometrija

 (a) Komentari o Euklidovim Elementima

Pre nego što pređemo na Heronovu geometriju i merenja (ili geodeziju) bilo bi dobro početi sa tim šta su to elementi  i pre svega sa Komentarima o Euklidovim Elmentima, čiji izvodi postoje u an-Nairizijevim i Proklusovim radovima, što nam dozvoljava da steknemo opštu sliku o karakteru radova. Uopšteno govoreći, Heronovi radovi ne sadrže mnogo toga što bi se moglo okvalifikovati kao važno. Mogu se klasifikovati na sledeći način:

• Nekoliko opštih primedbi, tj. da Heron nije hteo da prizna više od tri aksioma.
• Razlike u nizu primera Euklidovih tvrđenja i to u načinu na koji su crteži nacrtani.

Primere za ovo nalazimo u I. 35,36, III. 7,8 (gde su tetive koje se porede nacrtane sa različitih strana prečnika umesto sa iste strane), III. 12 (koji uopšte nije Euklidov već Heronov, dodat dkao primer spoljanjeg kontakta nasuprot primeru unutrašnjeg kontakta u III.11, VI. 19 (gde je trougao na kom je povučena linija manji od onog bez linije), Vii. 19 (gde je dat poseban primer tri broja u kontinualnoj proporciji umesto četiri)

• Alternativni dokazi

Čini se da je Heron bio prvi koji je uveo lak ali ne i poučan polu-algebarski metod dokazivanja proporcionalnosti II.2-10 koji je sada tako popularan. Ovom metodom tvrđenja se dokazana bez cifara kao posledica II. 1 odgovarajuće algebarske formule
a(b + c + d +...) = ab + ac + ad + ...

Heron objašnjava da nije moguće dokazati II.1 bez crtanja niza linija (tj. bez stvarnog crtanja trouglova), ali da se sledeća tvrđenja do II. 10 mogu dokazati  samo crtanjem jedne linije. On pravi razliku između dve varijacije metoda, jedne sa razdvajanjem, druge sa komponovanjem, pod čim izgleda smatra deljenje pravougaonika i kvadrata i kombinovanje istih u druge figure. Ali u svojim dokazima on ponekad kombinuje oba metoda.

Dati su i neki alternativni dokazi (a) tvrđenja iz Knjige III, tačno III.25 (stavljeni posle III.30 i a koji počinju od luka umesto tetive), III.10 (dokazan pomoću II.9), III.13 (dokaz iz kog proizilazi teorema koja kaže da prava ne može da dodiruje krug u više od dve tačke).

Klasi alternativnih dokaza (b) pripadaju i oni kojima je cilj da postignu određen cilj (ένστασις) koji je ili bi mogao da bude postavljen na Euklidovim konstrukcijama. Zato u određenim slučajevima Heron izbegava da nacrta pravu liniju tamo gde to Euklid čini, sa namerom da postigne cilj onoga koji bi trebao da porekne naše pravo da pretpostavimo da ima imalo slobodnog prostora. Dokazi ove vrste su I.11,20 i njegove primedbe na I.16. Slično u I.48 on pretpostavlja da je konstruisani pravougli trougao konstruisan sa iste zajedničke strane kao i dati trougao.

Treća klasa dokaza (c) je ona koja izbegava reductio ad absurdum, npr. direktni dokaz iz I.19 (za koji on zahteva i daje preliminarnu teoremu) i I.25.

• Heron daje i neka suprtna tvrđenja Euklidovim tvrđenjima npr. II.12,13 i Viii.27.
• Postoji i nekoliko dodataka i proširenja Euklidovih tvrđenja. Neki su nebitni , npr. konstrukcija jednakokrakih i raznostranih trouglova u primedbi na I.1 i konstrukcija dve tangente u III.17. Najvažnije proširenje  je ono na III.20 do slučaja kada je ugao na obimu veći od pravog ugla, što nam daje lak način  za dokazivanje teoreme iz III.22. Interesantne su i beleške  o I.37 (o I.24 kod Proklusa), gde Heron  dokazuje da su dva trougla sa po dve jednake stranice i sa odgovarajućim  uglovima koji su suplementni istih površina, i poredi površine gde je zbir odgovarajućih uglova (pri čemu je jedan veći od drugog) manji ili veći od dva prava ugla, i u I.47, gde postoji dokaz (zavisno od preliminarnih teorema) da se na crtežu Euklidovog tvrđenja (pogledati sledeću stranu), prave linije AL, BG, CE spajaju u jednoj tački. Ovaj poslednji dokaz vredi prikazati. Prvo dolaze teoreme.

(1) Ako se u trouglu ABC povuče duž DE paralelno sa  osnovom BC, tako da preseca strane AB i AC u tačkama D,E, i ako je tačka F središte duži BC, onda duž AF polovi duž DE. (Duž HK se crta kroz tačku A a paralelno sa DE, i duži HDL, KEM kroz D i E paralelno sa AF tako da dodiruju osnovu u tačkama L i M. Tada su trouglovi ABF, AFC ,između istih paralela, jednaki. Takođe i trouglovi DBF, EFC. Zato su  razlike, trouglovi ADF, AEF , jednaki  pa dobijamo paralelograme HF, KF. Zato  važi da je LF=FM, ili DG=GE.)

(2) je suprotnost Euklidovom I.43. , Ako se paralelogram podeli na četiri dela ADGE, DF,FGCB,CE tako da su DF i CE jednaki, zajednički tačka G će ležati na dijagonali AB.

Heron produžava AG tako da seče CF u tački H, i onda dokazuje da je AHB prava linija.

Pošto su DF i CE jednake, onda su i trouglovi DGF I ECG jednaki. Dodavanjem trougla GCF dobijamo trouglove ECF, DCF koji su jednaki i duži DE i CF koje su paralelne.
Ali (po I.34,29,26) trouglovi AKE,GKD su podudarni  tako da je EK=KD, i po teoremi (1) sledi da je  CH=HF.

U trouglovima FHB i CHG, po dve stranice (BF, FH i GC, CH) i uglovi između njih su jednaki, pa su zato ti trouglovi podudarni, a uglovi BHF i GHC su jednaki.

Dodajte svakom od njih ugao GHF i dobija se:
ÐBHF + ÐFHG = ÐCHG + ÐGHF = DVA PRAVA UGLA

Da bi dokazao svoje sopstveno tvrđenje Heron crta normalu na BC, i spaja EC koja dodiruje AK u M. Tada samo treba dokazati da je BMG prava linija.
Kompletirajte paralelogram FAHO, i nacrtajte dijagonale OA i FH koje se seku u Y. Kroz M nacrtajte PQ i SR paralelno sa BA i AC, respektivno.

Trouglovi FAH i BAC su potuno jednaki; zato je
ÐHFA=ÐABC=ÐCAK (pošto AK pod pravim uglom u odnosu na BC).
Ali dijagonale pravougaonika FH seku jedna drugu u tački Y, pa imamo FY=YA i ÐHFA=ÐOAF; zato je ÐOAF=ÐCAK, i OA je na istom pravcu kao AKL.

Zato , pošto je OM diagonala pravpuganika SQ, SA=AQ, i ako dodamo AM na svaku , FM=MH.
Takođe pošto je EC dijagonala pravougaonika FN, FM=MN.

Zato su paralelogrami MH i MN jednaki; i stoga, na osnovu prethodne teoreme, BMG je pravaj linija. Q.E.D.

(b) Definicije

      Potpuna kolekcija Definicija je posvećena Dionisijusu kao predgovor sledećih tvrđenja:

'U postavljanju skice tehničkih termina elemenata geometrije za vas, na najkraći mogući način, uzeću kao polaznu tačku, i baziraću celu moju postavku na učenjima Euklida koji je bio autor elemenata teorijske geometrije; zato što mislim da sa tim mogu da vam dam dobar opšti uvid ne samo u Euklidova učenja već i u mnoge druge radove u oblasti geometrije. Počeću onda sa tačkom.'

On onda nastavlja sa definicijom tačke, linije, različitih vrsta linija, pravih, kružnih, zakrivljenih i spiralnih (Arhimedova spirala i i cilindrična zavojnica), U Definicijama 1-7; površina, ravan i ne ravan, telo, Definicije 8-11; uglovi  i njihove vrste, ravan, pun, pravolinijski i ne pravolinijski, prav, oštar i tup, Definicije 12-22; figure, granice figura, varijeteti figura, ravni, tela, složene figure (sastavljene od istorodnih i raznorodnih delova) i proste figure, Definicije 23-6. Prosta figura je krug, i definicije njegovih delova, segmenata (koji su sastavljeni od raznorodnih delova), polukrug, άψίς (manji od polukruga), i deo veći od polukruga, uglovi u segmentu, sektor
'udubljenja' i 'ispupčenja', polumeseci, venci (poslednja dva su složene figure sastvavljene od istorodnih delova) i ose (πέλεκυς), ograničene sa četiri kružna luka, dva 'udubljenja' i dva 'ispupčenja', Definicije 27-38. Zatim  slede pravolinijske figure, razne vrste trouglova i četvorouglova, gnomon u paralelogramu i u opštem smislu gnomon figure koje dodate datoj figuri čini celinu slične figure, poligoni, normale, paralele, tri figure koje će ispuniti prostor oko tačke, Definicije 39-73. Pune figure su klasifikovane sledeće i to prema površinama koje ih okružuju a linije na površini su podeljene u (1) jednostavne i kružne i (2) mešovite, kao što su konusne i spiralne krive, Definicije 74,75. Zatim je definisana sfera sa svojim delovima, i za nju kaže da je najsadržajnija od svih figura sa istom površinom, Definicije 76-82. Onda dolazi zaobljena figura, njene različite vrste i njihovi delovi, sa jasnom razlikom između tri vrste, oštrougle(koju neki nazivaju i elipsa), pravougle i tupougle zaobljene figure (koja se zovu parabola i hiperbola) , Definicije 83-94; cilindar, uopšteni deo, spirala ili torusa u svoja tri varijeteta, otvorena, kontinualna(ili jednostavno zatvorena) i  ona koja preseca samu sebe, koje  respektivno, imaju delove koji imaju specijalne karakteristike, kvadratni prstenovi, koji su isečeni iz cilindara (pretpostavlja se  da okružuju presek koji u centru ima dva kvadrata) i razne druge vrste figura isečenih iz sfera ili složenih površina, Definicije 95-7; pravolinijska tela, piramide, pet pravilnhih tela, polupravilnih tela Arhimeda od kojih su dva (svako sa četrnaest strana) bile poznate Platou, Definicije 98-104; prizme raznih vrsta, paralelopipedi, sa specijalnim varijetetima, kocka, greda, δοκος (dužina veća nego širina i dubina, koje mogu biti jednake), cigla, πλινθίς (dužina manja od širine i dubine), σφηνίσκοςili βωμίσκος sa nejednakom dužinom, širinom i dubinom, Definicije 105-14.

Na kraju dolaze definicije relacija, jednakosti linija, površina i tela respektivno, jednakosti figura, recipročne figure, Definicije 115-18; beskonačni porast veličine, delovi (koji moraju biti istorodni sa celinom, tako da , npr. rogljasti ugao nije deo ili činilac pravog¸ili bilo kog ugla, sadržioci, Definicije 119-21; proporcije u veličinama, koje veličine mogu biti u razmeri, veličine u istom odnosu ili proporcionalne veličine, definicije većih razmera, Definicije 122-5; transformacije razmera (componendo, separando, convertendo, alterando, invertendo i ex aequali), Definicije 126-7; deljive i nedeljive veličine i prave linije, Definicije 128,129. Zatim slede dve tabele mera, Definicije 130-2.

Definicije su veoma vredne sa stanovišta istoričara i matematičara, zato što daju razne alternativne definicije fundamentalnih pojmova; prema tome shvatamo da su definicije prave linije Arhimedove, da su druge definicije koje znamo kao Proklusove, ustvari Apoloniusove, ostale su Posidoniusove, itd. Bez sumlje da je kolekcija bila preuređena od strane nekog izdavača ili više njih posle Heronovog vremena, ali čini se, bar što se suštine tiče, da je verna Heronu ili nekom još ranijem stilu. Za sada, kako sadrži originalne definicije Posidoniusa, ne može se smatrati starijom od prvog veka p.n.e.; ali njen sadržaj, u najvećem delu, kao da pripada periodu pre hrišćanskog doba. Heiberg dodaje svom izdanju Definicija , delove iz Heronove Geometrije, postulate i aksiome od Euklida, delove iz Geminusa o klasifikaciji matematike, principima geometrije, delove iz Proklusovih radova ili neke ili nekih ranih kolekcija učenja o Euklidovim radovima, i delove od Anatoliusa i Teona iz Smirna, koji prate definicije u rukopisu. Ovi različiti dodaci su izgleda skupljeni od strane nekog Vizantijskog izdavača, možda u jedanaestom veku.

Merenja

Metrika, Geometrika, Stereometrika, Geodezija, Merenja

      Sada dolazimo do Heronovih merenja. Od svih u naslovu pomenutih radova, Metrika je najvažnija sa naše tačke gledišta, zato što se čini da je više nego svi ostali sačuvala svoj izvorni oblik. Takođe je temeljitija u smislu da daje teorijsku osnovu korišćenih formula, i nije samo primena pravila na određene primere. Takođe je srodnija teoriji utoliko što ne koristi konkretne mere, već proste brojeve ili jedinice koje mogu onda u određenim slučajevima biti uzete kao stopa, lakat ili bilo koja druga jedinica merenja. Do 1896, kada je R. Schöne otkrio rukopis o merama u Konstantinopolju, jedino su bile poznate po aluzijama u Eutociusovim radovima(o Arhimedovim merenjima kruga), koji kaže da je način da se dobije približna vrednost kvadratnog korena od broja koji nije kvadratan pokazan u Heronovoj Metrici, kao i u radovima Papusa, Teona i ostalih koji su komentarisali Ptolomejevu Sintaksu.  Tanery je već 1894 otkrio deo Heronove Metrike koji daje određeno pravilo u Parisovom rukopisu iz trinaestog  veka, koji sadrži Uvod u Sintakse, izrađen verovatno od komentara Papusa i Teona. Druga interesantna razlika između Metrike i ostalih radova je  da je u prvom grčki način pisanja razlomaka (naš način) dominantan, a egipatski oblik (koji izražava razlomak kao sumu umanjenih činilaca) je redak, dok je u drugim radovima obrnuto.

S' obzirom na veći autoritet Metrike, mi ćemo je uzeti kao osnovu za naše razmatranje merenja, dok ćemo ostale radove imati na umu. Poželjno je na početku uporediti opširno  sadržaj različitih kolekcija. Knjiga I , Metrike sadrži merenja  kvadrata, pravougaonika i trouglova (poglavlja 1-9), trapeza, romba, romboida i četvorouglova sa jednim pravim uglom (10-16), pravilne poligone od jednakostraničnog trougla do pravilnog dvanaestougla (17-25) prsten između dva koncentrična kruga (26), delove kruga (27-33), elipsa (34), parabole (35), površine cilindra (36), ravnokrake kupe(37), sfere (38) i delova sfere (39). Knjiga II daje merenja određenih tela, kupe (37), cilindra (2), pravolinijskog tela, paralelopipeda, prizme, piramide i zarubljenih tela (3-8), zarubljene kupe (9,10), sfera i segmenti sfere (11,12), spirala i torus (13), deo cilindra meren Arhimedovom Metodu (14) i tela formirana presekom dva cilindra sa osama pod pravim uglom upisanim u kocku, takođe izmerena u Metodu(15), pet pravilnih tela (16-19). Knjiga III se bavi deljenjem figura u delove koji su u nekom odnosu, prvo ravnim figurama(1-19), zatim telima, piramidom, kupom, zarubljenim telima i sferom.

Geometrija ili Geometrumena je kolekcija napravljena po Heronu, ali nije njegov rad u svom sadašnjem obliku. Dodatak teoremi, zahvaljujući Patriciusu i referencama na njega u Stereometrici (I.22) ukazuju da je Patricijus izdao oba rada, ali vreme kada je Patricius živeo nije sigurno. Tannery ga poistovećuje sa profesorom matematike iz desetog veka – Nicephorus Patricius; ako je ovo tačno, onda je on savremenik Vizantijskog pisca (pogrešno nazvanog Heron) za koga se zna da je izdao prave Heronove radove, i ustvari Patricius i taj anonimni pisac bi mogli biti jedna osoba. Merenja u Geometriji imaju reference, gotovo u potpunosti, na iste figure koje su merene u Knjizi I Metrike, sa razlikom što u Geometriji (1) pravila nisu objašnjena samo  primenom na primerima, (2) dat je veliki broj numeričkih ilustracija, (3) koristi se egipatski način pisanja razlomaka kao sume činilaca, (4) dužine i površine su date u obliku posebnih mera, i kalkulacije su produžene velikim brojem konverzija iz jedne jedinice mere u drugu. Prva poglavlja (1-4) su po prirodi opšti uvod, koji uključuje određene definicije i završava se tabelom jedinica mere. Poglavlja 5-99 ,Hultsch(=5-20,14, Heib) su izgleda, iako po sadržaju odgovaraju Metrici I, zasnovana na različitim kolekcijama, pošto su poglavlja 100-3 i 105(=21, 1-25, 22, 3-24, Heib) jasno modelirana prema Metrici, a 101 poglavlje ima naslov 'Definicija (što ima značenje 'merenje') kruga u drugoj Heronovoj knjizi'. Heiberg prenosi u Geometriku značajnu količinu sadržaja takozvane Liber Geeponicus, loše uređenu kolekciju koja se sastoji od velikog broja izvoda iz ostalih radova. Prema tome , počinje sa 41 definicijom koje su identične sa istim brojem Definicija. Neke delove Heiberg ostavlja na stranu sa odgovarajućim delovima Geometrike u paralelnim kolonama; ostale on ubacuje na odgovarajuća mesta; delovi 78. ,79. se bave sa dva važna problema  neodređenih analiza (=Geometrika 24, 1-2, Heiberg). Heiberg dodaje, iz Konstantinopoljskog rukopisa koji sadrži Metriku, još jedanaest delova (poglavlja 24, 3-13) koji sadrže neodređene probleme i druge delove (poglavlja 24,14-30 i 37-51) dajući uglavnom merenja figura upisanih ili opisanih oko drugih figura, npr. kvadrati ili krugovi u trouglovima, krugovi u kvadratima, krugovi oko trouglova i na kraju merenja krugova i delova krugova.

Stereometrika I ima na početku naslov Είσαγωγαί τών στερεομετρουμένων Ηρωνος ali kao i Geometrika izgleda da je bila izdata od strane Patriciusa. Poglavlja 1-40 daju merenja geometrijskih tela, sfere, kupe, zarubljene kupe, obeliska sa kružnom osnovom, cilindra, stuba, kocke, σφηνίσκος (koja se takođe zove i όνυξ), μεήίουρον προεσκαριφευμένον, piramide i zarubljenog tela. Neki segmenti ovih sekcija knjige se vraćaju na Herona; pa u merenjima sfere poglavlje 1 = Metrika II. 11, i ovde i na drugim, mestima se pojavljuje običan oblik razlomaka. Poglavlja 41-54 mere sadržaj nekih zgrada ili drugih konstrukcija, npr. pozorišta, amfiteatra, kupatila, bunara, broda i sl.

Druga kolekcija, Stereometrika II, kao da je Vizantijskog porekla i sadrži slične stvari kao i Stereometrika I, čije smo delove ovde već pominjali. Poglavlje 31 (27, Heiberg) daje Talesov problem da bi pronašao visinu stuba ili drveta merenjem senke; poslednje sekcije mere različite piramide, prizmu , βωμίσκος (mali oltar).

Geodezija nije nezavisan rad, i sadrži samo delove Geometrije; pa su poglavlja                 1-16 jednaka poglavljima Geometrije 5-31, Hultsch (= 5, 2-12, 32, Heiberg); poglavlja 17-19 daju metode nalaženja, stranica bilo kog raznostranog trougla, delova osnove koje pravi normala povučena iz naspramne tačke i nalaženje površine preko poznate 'Heronove formule'; tj. imamo ovde ekvivalent Metrici I. 5-8.

Na kraju  μετρήσεις, ili Mere, su pripisane Heronu u Arhimedovom rukopisu iz devetog veka, ali u svom sadašnjem obliku ne mogu biti Heronove, iako delovi imaju dodirne tačke sa originalnim radovima. Sekcije 2-27 mere sve vrste objekata, npr. kamenje različitog oblika, stub, toranj, pozorište, brod, svod, hipodrom; ali sekcije 28-35 mere geometrijske figure, krug i delove kruga (Metrika I) i sekcije 36-48 koje se bave sferama, delovima sfera, piramidama, kupama i zarubljenim telima su usko povezani sa Stereometrikom I i Metrikom II; sekcije 49-59, dajući  merenja šupljih tela i ravnih figura različitih oblika kao da nisu istog porekla. Sada možemo preći na: 

Sadržaj Metrike

Knjiga I, Merenja površina

      Uvod opisuje tradiciju po kojoj je prva geometrija nastala iz praktične potrebe za merenjem i podelom zemlje (odakle i ime 'geometrija'), posle čega je proširenje na tri dimenzije postalo neophodno da bi se izmerila ispunjena tela. Heron zatim pominje Eudoksusa i Arhimeda kao pionire u otkrićima teških merenja, pri čemu je Eudoksus prvi dokazao da je cilindar ustvari trostruka kupa iste osnove i iste visine i da je odnos krugova isti kao i odnos kvadrata njihovih prečnika, dok je Arhimed prvi dokazao da je površina sfere jednaka četvorostrukoj površini velikog kruga u njoj i da je zapremina sfere jednaka dvotrećinskoj zapremini cilindra koji ga opisuje.

(a) Površina raznostranog trougla

      Posle lakih slučajeva pravougaonika, pravouglog i jednakostraničnog trougla, Heron daje dva načina za nalaženje površine raznostranog trougla (oštrouglog ili tupouglog) kada su date dužine sve tri stranice.

Prvi način je zasnovan na Euklidovom radu II. 12 i 13. Ako su a, b, c stranice trougla naspramne uglovima A, B, C , respektivno, Heron primećuje (poglavlje 4) da je bilo koji ugao, npr. C, oštar, prav ili tup prema formuli c2£ ili > a2 + b2, i ovo je kriterijum koji određuje koji od dva načina je primenjiv. Metod nas upućuje da odredimo , prvo delove na koje je podeljena bilo koja stranica podeljena normalom iz naspramnog temena, a onda dužinu same normale. Tada imamo, ako je u pitanju oštrougli trougao u kom je C oštar ugao, i ako je u pitanju tupougli trogao u kom je C tup ugao, respektivno,

odakle nalazimo AD2 (=b2 – CD2) , tako da nam je poznata površina ().
     

U slučajevima datim u Metrici I. 5, 6 stranice su (14, 15, 13) i (11, 13, 20) respektivno i AD je deljiva (=12). Ali naravno  i CD (ili BD) i AD mogu imati iracionalne vrednosti pa u tom slučaju Heron daje približne vrednosti. U Geometriji 53, 54, Hultsch (15, 1-4, Heiberg) imamo trougao u kom je a=8, b=4, c=6 , tako da je a2 + b2 - c2 = 44 i u  .
Pa  i  približno, pa je zato  površina jednaka . Heron onda primećije da se približniji rezultat  dobija ako pomnožimo  AD2 i  pre korenovanja, pa je površina onda  ili  što je približno  ili .

Tako u Metrici I. 9,  gde su stranice trougla 10, 8, 12 (10 je osnova), Heron nalazi da je normala  a površinu dobija kao  ili , dok primećujemo da možemo  naravno , uzeti približnu vrednost  ili , i pomnožiti to sa  polovinom od 10, pri čemu se dobija površina .

Dokaz formule

      Drugi način je Heronov obrazac kod nas poznat kao . Dokaz formule je dat u Metrici I. 8 i takođe u poglavlju 30 u Dioptri; ali  je poznato (iz arapskih spisa) da je to u stvari Arhimedova ideja.
Neka su date dužine stranica trougla.
Upišite  krug u trougao DEF, i neka je O centar tog kruga.
Spojiti AO, BO, CO, DO, EO, FO.
Onda 

BC.OD=2DBOC
CA.OE=2DCOA
AB.OF=2DAOB

pa dodavanjem p.OD=2DABC gde je p obim .
Produžiti CB do H, tako da BH=AF.
Onda , pošto je AE=AF, BF=BD, i CE=CD,
Zato je  CH.OD=DABC
Ali  CH.OD je ostatak proizvoda CH2.OD2 tj. , pa je (DABC)2=CH2.OD2

Nacrtajte OL pod pravim uglom na OC tako da preseca BC u tački K , i BL pod pravim uglom na BC tako da se spaja sa OL u tački L. Spojite CL.

Onda je COBL , pošto je svaki od uglova COL, CBL prav, četvorougao  u krugu.
Zato  važi             ÐCOB + ÐCLB = 2R.

Ovo važi zato što  AO, BO, CO polove uglove oko tačke O, iuglovi COB, AOF su zajedno jednaki uglovima AOC, BOF, dok je zbir sva četiri ugla jednak 4R.

Prema tome                    BC:BL            =  AF:FO
=  BH:OD,
i obrnuto,                         CB:BH=  BL:OD
=  BK:KD;
pa , componendo,          CH:HB=BD:DK.
Iz toga sledi                     CH2:CH.HB=BD.DC:CD.DK
=BD.DC:OD2, pošto je ugao COK prav.
Zato  (DABC)2=CH2.OD2=CH.HB.BD.DC=s(s-a)(s-b)(s-c)

(b) Metod  približnog određivanja kvadratnog korena iz nekvadratnog broja

      U vezi  trougla 7, 8, 9  Heron daje važnu izjavu o svom metodu izračunavanja približne vrednosti iracionalnog broja, koji je pre otkrića delova Metrike bio predmet beskonačnih pretpostavki kao što je i pitanje kako je Arhimed našao približnu vrednost .
U ovom slučaju  s=12, s-a=5, s-b=4, s-c=3 tako da je D=
'Pošto' , kaže Heron, '720 nema svoj racional, on se može naći uz vrlo mala odstupanja na sledeći način. Pošto je prvi sledeći kvadratni broj 729, čiji kvadratni koren jeste 27, da bi se našao racional od 720 treba 720 podeliti sa 27. Ovo nam daje . Dodati 27 ovome i dobija se , pa ovaj broj onda podelimo sa dva i dobijamo . U stvari, ako pomnožimo  samim sobom , rezultat je  tako da  je ralika (u kvadratu) samo .
' Ako želimo da napravimo još manju razliku trebalo bi da uzmemo  umesto 729, [ili bi pre trebalo uzeti  umesto 27] , i nastavljajući  postupak na isti način dobićemo rezultat sa razlikom još manjom od .
Drugim rečima, ako imamo nekvadratni broj A, i ako je a2 prvi kvadratni broj do broja A, tada je A= a2 ± b, gde imamo kao prvu aproksimaciju

za drugu aproksimaciju uzimamo

i tako dalje.
Zamenjujući u (1) vrednost A sa a2 ± b , dobijamo

 Heron izgleda ne koristi ovu formulu sa negativnim brojevima, osim u Stereometrici I. 33 (34, Hultsch) gde je   dat približno kao . U Metrici I. 9, kao što smo videli,   je dat kao , što je bez sumlje dobijeno formulom (1) kao. 

Prethodno tvrđenje je jedino klasično pravilo koje je bilo dato za nalaženje druge i ostalih aproksimacija vrednosti iracionalnog broja. Ali, mada Heron formulom (2) pokazuje kako da se dobije druga aproksimacija, on sam ne koristi direktno ovaj metod, pa zato i dalje ostaje ne razjašnjeno pitanje kako su dobijene druge aproksimacije koje su približnije od prve. 

(g) Četvorouglovi

 Nepotrebno je detaljno navoditi metode merenja četvorouglova (poglavlja 11-16). Heron se bavi sa sledećim vrstama četvorouglova, trapezom(jednakokrakim i nejednakokrakim), rombom i romboidom, i četvorouglovima koji imaju jedan prav ugao i u kojima četiri strane imaju date dužine. Heron naglašava da je u rombu ili romboidu, i uopšte u svim četvorouglovima, potrebno  znati dijagonalu kao i sve četiri strane. Merenja u svim ovim slučajevima se svode na merenja pravougaonika i trouglova. 

(d) Pravilni poligoni  sa 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ili 12 strana

      Počevši sa jednakostaničnim trouglom (poglavlje 17), Heron dokazuje da , ako je a stranica trougla i p normala iz naspramnog temena na tu stranu , važi a2:p2=4:3, pa  tako da je a4:(DABC)2=16:3
i . U ovom konkretnom slučaju uzeto je da je a=10 i  pa je  približno.
Drugi metod  je korišćenje vrednosti za  u formuli . Ovo je urađeno u Geometrici 14 (10, Heiberg) , gde nam je rečeno da je površina ; sada je  tako da je aproksimacija koju Heron koristi za  ovde . Za stranicu 10 , metod daje isti rezultat, za
Pravilni pentagon je sledeća figura koja se razmatra (poglavlje 18). Heron daje sledeću teoremu.

      Neka je ABC pravougli trougao, sa uglom A koji je jednak . Produžiti AC do O tako da CO=AC. Ako je sada AO podeljen na veći i manji deo, onda je AB jednak većem segmentu. (Ako se AB produži do D tako da je AD=AO, i spoji BO i DO, tada , pošto je ADO jednakokraki trougao i ugao kod A , ÐADO=ÐAOD=, i iz jednakosti trouglova ABC i OBC ÐAOB=ÐBAO=. Sledi  da je trougao ADO jednakokraki trougao iz Eukl. IV. 10, , i  tada je AD podeljena na veći i manji deo  u B. Zato, kaže Heron, .[Ovo je EUkl. XIII. 1.]
Sada pošto je ÐBOC=, ako se BC produži do E tako da CE=BC, BE  je tada naspram O pod uglom jednakim , pa je  BE stranica pravilno petougla upisanog u krug sa centrom u tački O i poluprečnikom OB.

(Ovaj krug takođe prolazi kroz D, i BD je strana pravilnog desetogla u istom krugu.) Ako je sada BO=AB=r, OC=p, BE=a. dobija se gornji oblik, , pa pošto je  približno , dobijamo približno , i , i onda je . Dakle  , i površina petougla je jednaka . Heron dodaje da , ako uzmemo bližu aproksimaciju  od , dobićemo još tačniju površinu. U Geometriji formula je data kao .
Pravilan šestougao (poglavlje 19) je jednostavno 6 puta jednakostraničan trougao iste stranice. Ako je D  površina jednakostraničnog trougla stranice a, Heron je dokazao  da je  (Metrika I. 17), pa je stoga . Ako , npr. a=10,  i  približno. U Geometriji formula je data kao , dok se druga knjiga citira dajući ; dodaje se da je druga formula , dobijena iz površine  trougla , , predstavlja precizniju proceduru i u celini je postavljena od strane Herona. U stvari , iako je    tačno, samo su u Metrici data tačnija merenja.

Pravilan sedmougao

Pravilan osmougao, desetougao I dvanaestougao

      U ovim slučajevima (poglavlja 21, 23, 25) Heron nalazi p crtanjem normale OC iz O, centra opisanog kruga, na stranu AB, a zatim se povlači prava ad takva da je ugao OAD jednak uglu AOD.
      Za osmougao  približno.
Za desetougao   približno (vidi prethodnu stranu); pa
Za dvanaestougao  približno.
Prema  gde je a stranica figure u svakom od slučajeva.

Pravilan devetougao i jedanaestougao

  U ovim slučajevima (poglavlja 22, 24) poziva se na Tabelu tetiva (tj. verovatno Hipparkusovu tabelu). Ako je AB strana (a) devetougla i jedanaestougla upisanih u krug, AC prečnik povučen kroz tačku A, kaže se da Tabela tetiva daje respektivne približne vrednosti   i   odnosa AB/AC. Uglovi naspram centra O na strani AB su 40o i respektivno, i Ptolomejeva tabela daje , kako su tetive naspram uglova od 40o i 33o respektivno ,   i (izraženo u 120-tom delu prečnika); Heronove cifre odgovaraju   i   respektivno. Za devetougao važi AC2=9AB2 , pa je BC2=8AB2 ili približno   i ; zato je (površina devetougla) jednaka .Za jedanaestougao: ili   tako da je   i površina jedanaestougao je .
Stara formula za odnos između stranice bilo kog pravilnog poligona i prečnika kruga opisanog oko poligona čuva se u Geëpon. 147 sq. (=Pseudo-Dioph. 23-41), a ona je . Sada odnos   teži ka p kako broj strana raste, i formula ukazuje na vreme kada se za π generalno uzimala vrednost 3. 

(e) Krug

      Kod kruga (Metrika I. 26) Heron koristi Arhimedovu vrednost za p, zj , praveći obim kruga kao  i površinu , gde je r poluprečnik a d prečnik. Baš ovde on daje više tačnih ograničenja za p za koje je, po njemu,  pronašao Arhimed u svojim radovima O Stubovima i Cilindrima, ali koji nisu pogodni za računanje. Granice , onako kako ih mi vidimo su u tekstu date  kao , i sa Tanerijevim izmenama su sasvim zadovoljavajuće: .
(x) Deo kruga

      Prema Heronu (Metrika I. 30) stara merenja površine kruga su prilično netačna. Po njima je površina   gde je b osnova a h visina. On pretpostavlja da je proizašla uzimanjem p=3, zato što  ako ovu formulu primenimo na polukrug površina postaje  , gde je r poluprečnik. Oni, kaže Heron (poglavlje 31), koji su detaljnije istraživali  površinu , dodali su   gornjoj formuli praveći  , i čini se da ovo odgovara  vrednosti  za p, pošto, kada se primeni na polukrug dobijamo . On dodaje  da ova formula  treba da se primenjuje  na segmente kruga koji su manji od polukruga, pa čak ne na svaki takav segment već samo na onaj  gde b  nije veće od 3h. Pretpostavimo npr. da je b=60, h=1; u tom slučaju   koje je čak veće i od paralelograma sa 60, 1 kao stranicama, a koji je opet veći  od segmenta. Tamo gde je b>3h on usvaja drugu proceduru.
Ovo je tačno napravljeno po Arhimedovoj kvadraturi segmenta parabole. Heron dokazuje (Metrika I. 27-29, 32) da , ako je ADB segment kruga i D srednja tačka luka, i ako se lukovi AD,

DB prepolove tačkama E, F,  onda.  DADB<4(DAED+DDFB)
Slično , ako se ista konstrukcija napravi sa segmentima AED, BFD, svaki od njih je  manje od 4 puta  suma dva mala trougla u ostacima segmenata. Sledi : (prostor segmenta ADB)> DADB{1+}>DADB
‘Ako izmerimo trouglove, i dodate jednu trećinu istog, dobićemo  najpribližniju moguću površinu segmenta.’ To znači da za segmente u kojima je b>3h, Heron uzima  da je površina jednaka površini segmenta parabole sa istom osnovom i visinom ili .
Kao dodatak ovim trima formulama za S, površinu segmenta, postoje još neke:S=, Merenja 29, S=Merenja 31.
Prva od ovih formula se primenjuje na segment  veći od polukruga, a druga za segment manji od polukruga.
U Metrici , površina segmenta većeg od polukruga  se dobija oduzimanjem dopunskog segmenta iz površine kruga.
Iz Geometrike vidimo da je za obim segmenta manjeg od polukruga uzeto
ili.

(h) Elipsa , paraboličan segment, površina cilindra, pravougla kupa, sfera i segment sfere

 Posle površine elipse (Metrika I. 34) i paraboličnog segmenta (poglavlje 35), Heron daje površinu cilindra(poglavlje 36) i pravougle kupe (poglavlje 37); u oba slučaja on razmotava površinu ravni tako da površina postaje paralelogram u jednom slučaju i deo kruga u drugom slučaju. Za površinu sfere (poglavlje 38) i dela sfere (poglavlje 39) on prosto koristi Arhimedove rezultate.

Knjiga I se završava sa nagoveštajem kako meriti nepravilne figure, ravne ili ne. Ako je figura ravna i ograničena nepravilnom krivom, biramo susedne tačke na krivoj, takve da se, kada se spoje u nizu , ne razlikuju mnogo od krive, pa se površina poligona meri deljenjem poligona u troglove. Ako se traži površina nepravilnog tela , onda treba telo zaviti u deliće veoma tankog papira ili platna dovoljne da ga pokriju i onda meriti površinu delića.

LITERATURA

1. sir Thomas Heath - "A History of Greek Matematics II"

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi