BROJEVI

“Decimalni brojni sistem je rezultat anatomske slučajnosti da je
većina nas rođena sa po deset prstiju na rukama i nogama”
Aristotel

Korišćenje matematičkih simbola u bilo kom vidu (počev od cifara pa do složenih matematičkih oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne zahteva razmišljanje o njenom nastanku. Uglavnom se odnosimo prema matematičkom aparatu kao da je oduvek postojao i to u obliku koji danas koristimo. Ova iluzija podstaknuta je i činjenicom da mi svoje prvo matematičko znanje stičemo tako rano da se toga i ne sećamo. Štaviše, skloni smo verovanju da su neki od apstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni sistem) intuitivni.
Međutim, ne sme se zaboraviti da je sadašnjem stanju u ovoj oblasti prethodio dug period od oko 6000 godina postepenog razvoja matematike u kome je matematička apstrakcija dala neke od najbriljantnijih doprinosa ljudskoj misli. Tako fascinantan tok pronalazaka u matematici ne postoji ni u jednoj drugoj nauci. Uporedo s njim došlo je do razvoja matematičke simbolike i terminologije. Nezgrapna i nejasna u početku, ona se razvila do današnjeg elegantnog i mnogo razumljivijeg oblika u procesu koji još uvek traje i predstavlja rastuće polje stalno promenljivih oblika apstraktnih pojmova.
Civilizacija i matematika su se istovremeno razvijale. Matematika je oduvek za čovečanstvo bila velika vrednost, a njena korist neprestano raste. Ustvari možemo reći da je matematika bila neophodna čoveku u njegovom savladavanju prirode i formirajući njegovo mišljenje uticala je na celokupni ljudski razvitak.
U jednom pogledu matematika je vrlo specifična među ostalim naukama: ni jedan njen rezultat ne može zastareti daljim razvojem nauke. Jednom dokazana teorema ne može postati neistinita, samo se tokom daljeg razvoja može pokazati kao specijalan slučaj neke uopštenije istine. Matematička znanja ne podležu reviziji, njihova ukupna zaliha neprestano raste.

Brojevi

Numerički termini izražavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudski um. Međutim, proces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan. Koncept apstraktnog broja je proizvod duge i lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u vreme pre pisane istorije. Kao što je rekao Bertrand Rasel (Russell, 1872-1970), britanski matematičar i filozof, bile su potrebne hiljade godina dok je shvaćeno da par fazana i dva dana imaju zajedničku karakteristiku – broj 2.
Dugo se smatralo da je najstariji postojeći matematički artefakt od značaja egipatsko vladarsko žezlo, za koje se veruje da datira približno iz 3100. godine pre nove ere. Na žezlu je napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima, kojima su zabeleženi preuveličani rezultati uspešnog vojnog pohoda.
Međutim, nedavno je pronađen znatno stariji artefakt koji se takođe odnosi na brojanje.
Na ručnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranžirani prema određenim numeričkim obrascima zajedno sa komadom kvarca koji je pričvršćen za glavu ručice. Artefakt je poznat kao kost iz Išanga, a pronađen je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datira iz perioda između 9000 i 6500 godina pre nove ere. Dakle, sasvim je moguće da se začeci matematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, već u afričkim predelima južno od Sahare.
Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3100. godine P.N.E. Na jednoj sumerskoj glinenoj tablici prikazan je broj 33 pomoću tri zareza i tri kružića, pri čemu zarezi označavaju jedinice a kružići desetice. Zajedno sa znakom za ćup za ulje koji se nalazi pored, ceo natpis bi se mogao pročitati kao 33 ćupa ulja. Ovaj ekonomičan način pisanja, kako u računu tako i u ljudskoj komunikaciji, brzo je postao rasprostranjen.

Brojni sistemi

Uprkos postojanju podataka da su 2, 3 i 4 služili kao osnove nekih primitivnih brojnih sistema, ipak su prvi značajni brojni sistemi bili petični (osnova 5), zatim desetični i dvadesetični (osnova 20). Danas je decimalni sistem najrasprostranjeniji. Svi ovi sistemi povezani su s činjenicom da čovek ima po pet prstiju na svakoj ruci pomoću kojih su vršena prva izračunavanja.
Neka plemena u Južnoj Americi čak i danas broje pomoću šake: ,,Jedan, dva, tri, četiri, šaka, šaka-i-jedan", itd. Seoski kalendari u Nemačkoj koristili su petični sistem sve do kraja osamnaestog veka. Maje, Asteci i Kelti imali su dvadesetični sistem, što je odgovaralo ukupnom broju prstiju na rukama i nogama, istovremeno dajući svedočanstvo o bosonogom periodu čovečanstva.
Istog porekla su u jeziku Grenlanđana izrazi jedan čovek sa značenjem 20, dva čoveka za 40, itd. U engleskom jeziku reč digit znači cifra ali i prst, što ima poreklo u starolatinskoj reči digiti - prsti.
,,Brojanje pomoću tela" je defiisanje brojeva pomoću određenih delova ljudskog tela,
kao što su glava, oči, uši, ruke, itd. Ovakvo brojanje koriste neki primitivni narodi. Na primer, jedno pleme Papuanaca na jugoistoku Nove Gvineje broji na sledeći način:

Kod primitivnih naroda, pa čak i nekih naprednijih, uobičajeno je da verbalno brojanje
prate određeni gestovi. Na primer, u nekim plemenima reč ,,deset" često je propraćena udarcem dlana o dlan a reč ,,šest" ponekad je propraćena brzim zamahom jedne ruke pored druge. Karl Meninger tvrdi da se neka afrička plemena mogu razlikovati i etnički klasifikovati na osnovu toga da li brojanje počinju levom ili desnom rukom, da li savijaju prste i da li okreću dlanove ka telu ili od tela.
Englez R. Mejson navodi jednu šarmantnu anegdotu iz perioda II svetskog rata. U to vreme devojka iz Japana boravila je u Indiji, koja je tada bila u ratu s Japanom. Da bi se izbegle moguće neprijatne situacije, njena prijateljica predstavila je društvu kao Kineskinju. Jedan od prisutnih Engleza bio je sumnjičav pa ju je zamolio da broji do pet na prstima, što je ona i učinila posle malo oklevanja. Na to je on uzviknuo uzbuđeno: ,,Da li ste videli ovo? Da li ste videli kako je ona to uradila? Počela je sa otvorenom šakom i savijala prste jedan za drugim. Da li ste ikada videli Kineza da to radi? Nikada! Kinezi broje kao i Englezi. Počinju sa zatvorenom šakom. Ona je Japanka!" - zaključio je trijumfalno.

Najneobičniji brojni sistem svakako su imali Vavilonci. Oni su razvili računanje sa brojnom bazom 60 u kombinaciji sa desetičnim sistemom. Razlog za uvođenje šezdesetične brojne baze leži, pored ostalog, i u činjenici da broj 60 ima mnogo delilaca (2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20 i 30), što je omogućavalo veoma jednostavno računanje sa razlomcima.
Vavilonci su prvi uveli pozicioni brojni sistem u kome je vrednost svake cifre određena njenim položajem: na primer, dve uzastopne jedinice označavale su 61. Ipak u njihovom načinu pisanja bilo je i neodređenosti jer simbol za nulu nije postojao (koristili su znak za odsustvo cifre). On je uveden tek mnogo kasnije, u devetom veku u indijskoj matematici.
Trajan uticaj vavilonske matematike i šezdesetičnog brojnog sistema zadržao se do današnjih dana preko podele sata na 60 minuta i 3600 sekundi kao i podele kruga na 360 stepeni, koje se i sada koriste.

Maje iz Centralne Amerike i Južnog Meksika su razvili dvadesetični sistem sa simbolom za nulu (verovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu notaciju, ali je njihova kultura nestala pre španske invazije. Najveći broj pronađen u kodu Maja je 12 489 781 (zapisan u našoj decimalnoj notaciji).

Brojni sistem koji se danas koristi je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. U ovom sistemu svaka cifra ima vrednost u zavisnosti od mesta na kome se nalazi. Na primer, u broju 53 cifra 5 označava desetice pa joj je vrednost 5.10 = 50 dok 3 označava jedinice tako da ima vrednost 3.1 = 3. Desetični ili decimalni pozicioni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine.

Grčki matematičari su koristili decimalni sistem sa 27 simbola: 24 slova grčkog alfabeta označava jedinice, desetice i stotine a tome su dodata tri stara simbola: digama (6), kopa (90), i sampi (900). Pregled korišćenih simbola je pokazan u sledećoj tabeli:

Da bi se u tekstu razlikovala slova od brojeva, pisane su crte iznad svakog broja . U slučaju malih slova, što pripada kasnijem periodu, upotrebljavani su akcenti umesto crta (a’,b’,...).

Grčki filozof i matematičar Heliodor koji je živeo u 4. veku, izneo je mišljenje da je reka
Nil isto što i godina. Naime, slova reči NEILOS (Nil) u grčkom brojnom sistemu predstavljaju brojeve: N=50, E=5, I=10,L =30, O=70, S=200, a ovo kada se sabere iznosi 365, odnosno broj dana u godini.

Rimski brojevi se i danas koriste za neke specificne namene. Njihov se oblik menjao
tokom vremena do oblika koji nam je danas poznat:
1  5  10  50  100  500  1000
I  V  X   L    C      D     M

Princip oduzimanja koji se primenjuje pri pisanju brojeva, gde simbol za manju jedinicu koji prethodi većoj jedinici označava razliku dve jedinice, Rimljani su preuzeli od Vavilonaca. Na primer, četiri se piše kao IV umesto IIII ili 1999 kao MCMXCIX. Ostaci ovog principa zadržali su se danas u našoj sklonosti da kažemo pet minuta do dvanaest umesto jedanest i pedeset pet minuta.
Decimalni pozicioni brojni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine nove ere, kada je datum 346 zapisan u decimalnom pozicionom sistemu. Nula se označava prazninom, tačkom ili malim kružićem. Međutim, još pre toga, Indusi su izražavali veće brojeve rečima po principu pozicione vrednosti.
Danas je poznato da je pozicioni princip korišćen u sistemu sa osnovom šezdeset nađeno na Vavilonskim pločama starim 3600 do 4000 godina, mada bez simbola za nulu. Na primer, Stari Vavilonci su pisali 18363 = 5x602+6x60+3 (= (563)60). Postoje dokazi da su i astronomi u staroj Indiji koristili podelu na šezdeset. Ovo otkriće, kao i činjenica da su Arapi izabrali Hindu brojeve, ukazuje na to da je mnogo adekvatnije koristiti termin ,,vavilonska-hindu" notacija nego ,,arapska" ili ,,hindu-arapska."

Izgled cifara

Opšte je mišljenje da cifre koje danas koristimo, takozvane arapske cifre, kao i simbol za
nulu potiču iz Indije. Dva najstarija zapisa pojavili su se, prvi u Brahmi sredinom trećeg veka pre nove ere, drugi u Gvalioru.
Suštinska odlika Hindu matematike bilo je uvođenje simbola za nulu. Bez nule pozicioni
sistem zapravo ne bi mogao da postoji. Ovaj pronalazak omogućio je razvoj od indoarapskih cifara do današnjeg brojnog sistema sa pozicionom vrednošću.
U početku se za nulu upotrebljavala reč sunja (sunia) - praznina, da bi kasnije bila zamenjena tačkom. Simbol za nulu ,,0" pojavio se u Indiji u 9. veku. U zapisu iz 876. na Gvalioru brojevi 50 i 270 su napisani sa nulama. Poreklo samog znaka je neizvesno. Moguće je da je nastao kao asocijacija na prazan krug, ali je verovatnije da potiče od upotrebe slova omikron ,,O", koje predstavlja inicijal grčke reči οΰδεή(ouden), što znači ništa.

Šezdesetih godina 20. veka gospođa Abdelkri Budžibar, direktor Muzeja u Maroku, izložila je javnosti svoju interesantnu i prilično ubedljivu studiju o tome kako je nepoznati arapski matematičar mogao pre nekih hiljadu godina da oblikuje takozvane arapske brojeve, odnosno cifre od 0 do 9. Ona smatra da su cifre formirane prema kriterijumu da svaka sadrži odgovarajući broj uglova, kao što je prikazano na slici. Dakle, cifra broja ,,jedan" sadrži jedan ugao, cifra broja ,,dva" ima dva ugla, broja ,,tri" ima tri ugla, i tako dalje. Nula je, naravno oblikovana tako da nema uglova.

Ovakvo jedno racionalno obrazloženje nastanka cifara bilo bi interesantno ukoliko je tačno. Današnji izgled cifara 1, 2, 3 mogao je nastati usled kurzivnog pisanja jedne, dve ili tri crte. Međutim, oblikovanje ostalih cifara manje je jasno.
Arapski astrolog Aben Ragel, iz desetog ili jedanaestog veka, sugerisao je atraktivan mada istorijski nedokazan prikaz cifara dat na slici ispod. Ovakva maštovita obrazloženja proističu iz želje amatera da proniknu u ključ misterije, nedostupan i ekspertima.

Prenos cifara

Hindu cifre su prenete u arapske zemlje u 7. veku. Najstarija referenca za Hindu pozicioni brojni sistem van Indije nađena je u radu iz 662. koji je napisao Sever Sebohta, sirijski biskup, u Kambodži 683.Iz arapskih zemalja hindu cifre su prenete u Evropu uglavnom posredstvom trgovaca sa obala Mediterana koji su održavali trgovačke veze sa Istokom. Drugi značajan način prenošenja arapskih cifara u Evropu bio je direktno preko Arapa, koji su osvojili Španiju 711. godine i u periodu svoje vladavine doneli i znanje matematike u Španiju.

Najstariji evropski rukopis koji sadrži arapsko-indijske cifre, tzv. ,,Vigilanski kodeks" (Codex Vigilanis), napisao je Albelda Kloister u španiji 976. godine.

U Evropi su u 10. veku još bile u upotrebi kurzivne rimske cifre. Gerbert Dorijak (oko 950-1003), koji je rođen u Francuskoj, obrazovao se u Španiji i Italiji, i kasnije služio kao arhibiskup u Remsu i Raveni (i 999. godine postao Papa pod imenom Silvester II), bio je verovatno prvi u Evropi koji je upotrebio hindu-arapske brojeve. Hindu-arapski sistem je definitivno postao poznat u Evropi u 13. veku zahvaljujući radu nekoliko naučnika, najviše od svih Leonardu iz Pize, poznatijem kao Fibonači (Fibonacci, 1180-1250). Njegova knjiga Liber abbaci (Knjiga o abaku, 1202) služila je kao veoma važan izvor hindu-arapske numeracije u Evropi. Između ostalih, engleski matematičar Vilijam Otred (William Oughtred, 1574-1660) opisao je hindu-arapsku notaciju i decimalne razlomke u svom najvažnijem delu Clavis Mathematicae (1631).

Upotreba arapskih cifara u Evropi bila je u prvo vreme čak zabranjena. Međutim, kada su u 14. veku italijanski trgovci (iz porodice Mediči) počeli da upotrebljavaju arapske cifre pri vođenju trgovačkih knjiga, a posebno posle 1482. godine, dolazi do potiskivanja rimskih cifara.

Najraniji novčići na kojima su utisnute arapske cifre pojavili su se u sledećem redosledu:
Švajcarska (1424), Austrija (1484), Francuska (1485), Nemačka (1489), Škotska (1539), Engleska (1551).

Narod Inka, koji je na teritoriji sadašnjeg Perua imao moćnu civilizaciju pre vremena evropske invazije u 16. veku, posedovao je logičko-numerički sistem zapisivanja brojeva pomoću skupa konopaca sa specijalno grupisanim čvorovima, nazvanim kipu (quipu). Specifičan raspored konopaca i čvorova (uključujući razmak) predstavljali su brojeve u dekadnom pozicionom brojnom sistemu. Najveći broj otkriven na kipu je 97 357. U modernoj terminologiji, kipu je sličan jednom posebnom tipu grafa, poznatom kao stablo.

Razni pojmovi

Zanimljiva je priča o nazivu cifre nula. Hindu simbol za nulu, nazvan sunja (prazan), preveden je na arapski kao as-sifr ili sifr. Fibonači u svojoj knjizi Liber abbaci naziva ovaj simbol zephirum a Maximus Planudes (oko 1340.) ga zove tziphra (od grčkog oblika τζιφρα, koji je otprilike u isto vreme koristio Neofitos). Ova reč je zatim preneta u italijanski kao zeuro, odakle je nastala engleska reč za nulu zero. Primetimo da su iz istog izvora nastale naše reči cifra i šifra, a u engleskom cipher. Međutim, nula je takođe poznata i pod drugim imenima kao što su rota, circulus, galgal, omicron, theca, null, i figura nihili i do danas ovaj termin još nije uređen.

Jedinica takođe zaslužuje posebnu pažnju. Sve do 16. veka jedinica nije ni smatrana cifrom, što je ideja koja potiče od starih Grka. Euklid je definisao broj kao veličinu sastavljenu od jedinica. Takođe se smatralo da jedinicu, kao i tačku, nije moguće deliti. Srednjovekovni pisci kao što su al-Horezmi (oko 825), Pselus (oko 1075), Savasorda (oko 1100), Hispalensis (oko 1140) i autori ranih štampanih knjiga Pačoli (1494), Kebel (1514), Cvifel (1505), Bejker (1568) i mnogi drugi, isključili su jedinicu iz polja brojeva.
Ideja da jedinica nije broj, već samo generator brojeva (isto kao što je tačka generator linije) bila je predmet mnogih diskusija do 1585. kada je holandski matematičar i inženjer Simon Stevin (1548-1620) promenio ovaj koncept u svojoj l'Arithmetique i uverio svoje savremenike i sledbenike da je jedinica i sama broj, baš kao i drugi brojevi.

Pojam negativnih brojeva javlja se po prvi put u kineskoj matematici. Naime, u starokineskoj knjizi K'iu-čang suan-šu (postoje i druge fonetske transkripcije, zavisno od dijalekta;Devet knjiga matematičkih veština, oko 200. godine P. N. E. ali možda i mnogo ranije) iz perioda dinastije Han (202 P.N.E.-211 N.E.) negativni brojevi su zapisivani crnom bojom dok su pozitivni brojevi pisani crvenom bojom.
Prvi trag kvadratnog korena negativnog broja je nađen u Stereometriji Herona iz Aleksandrije (oko 50. godine). Indijski matematičar Mahavira (oko 850.) bio je prvi koji je suštinski shvatio ovaj problem. U svom razmatranju negativnih brojeva on kaže da ,,kako u prirodi stvari negativna količ ina ne može biti kvadrat (na količina), to ne postoji kvadratni koren negativnog broja."
Prvi napredak u razmatranju negativnih brojeva načinio je Fibonači koji je interpretirao negativno rešenje u finansijskim problemima kao gubitak umesto zarade. Međutim, prvi koji je tretirao negativne brojeve na pravi način bio je italijanski matematičar -Dirolamo Kardano(1501-1576). On je definisao jednostavne zakone sa negativnim brojevima u svojoj knjizi Ars Magna (Velika veština, 1545); formulisao je pravilo ‘minus puta minus daje plus’ kao nezavisno pravilo i nazvao negativne brojeve `fiktivni.' Usvojio je simbol za negativan broj ,,m:" (m je od latinskog meno - minus) tako da je pisao ,,m : 5" za -5; dok je njegov savremenik Rafael Bombeli (Raphael Bombelli, 1526-1573?) koristio oznaku ,,m.".
Zvuči paradoksalno, ali prvi suštinski korak ka pravilnom shvatanju i konačnom usvajanju negativnih brojeva nastupio je tek kada su kompleksni brojevi stekli svoj matematički legitimitet i dostigli ,,matematičku zrelost." U svojoj knjizi Veliki matematičari, E. T. Bell je istakao: ,,U istoriji matematike nema većeg iznenađenja od činjenice da su kompleksni brojevi shvaćeni, i sintetički i analitički, pre negativnih brojeva."

Rafael Bombeli je prvi definisao sabiranje i množenje kompleksnih brojeva. U svojoj knjizi Algebra (1572) on razmatra veličine kao što je √-9, što zapisuje u obliku R[0 m. 9], gde R označava kvadratni koren (od radix - koren) a m je minus (od meno).
Bombelijeva Algebra je bila naširoko čitana mnogo decenija; čuveni matematičari Gotfrid Lajbnic (1646-1716) i Leonard Ojler (1707-1783) su je koristili za proučavanje kubnih i bikvadratnih jednačina.
Đirolamo Kardano je bio prvi koji je koristio kvadratni koren negativnog broja u izračunavanju. Godine 1545. on je usvojio koncept ,,minus koren" da podeli 10 na dva dela ćiji je proizvod 40, i našao rešenja 5 + √-15 i 5 - √-15.

Jako podozrenje i prema kompleksnim i prema negativnim brojevima zadržalo se sve do 19. veka. S druge strane, Hajgens i Lajbnic, koji su živeli u 17. veku, bili su impresionirani imaginarnim brojevima. Na primer, Lajbnic je pokazao da je
√6=√1+√-3+√1-√-3.
Poslednja reprezentacija je navela Hajgensa da napiše pismo Lajbnicu: ,,Primedba koju ste napravili u pogledu korena iz negativnih brojeva sa imaginarnim vrednostima, koje, međutim, kada se saberu daju realnu vrednost, je iznenađujuća i potpuno nova. Teško je poverovati da √1+√-3+√1-√-3 čini √6 i u tome postoji nešto skriveno što je meni neshvatljivo."

Aritmetiku kompleksnih brojeva u pravom smislu razvio je 1831. čuveni nemački matematičar Karl Fridrih Gaus (1777-1855). On je predstavio kompleksne brojeve kao tačke u ravni, našao za korisno da razlikuje pojam imaginarnog broja za a√-1 i kompleksnog broja za a + b√-1; pri čemu je uveo drugi termin. Ojler je 1748. uveo oznaku i = √-1; a francuski matematičar Ogisten Koši (1789-1857) uvodi 1821. nazive konjugovan par za a + ib i a - ib i moduo za veličinu √a2 + b2, koju je Vajerštras zvao apsolutna vrednost i označavao sa │a + ib│.
Nezavisno od Gausa, čuveni irski matematičar Vilijam Roven Hamilton (1805-1865) je 1843. uveo aritmetiku kompleksnih brojeva zasnovanu na prikazu kompleksnog broja kao uređenog para realnih brojeva x + iy = (x; y).

Transcedentni brojevi

Za broj koji nije koren nekog algebarskog polinoma sa celobrojnim koeficijentima kaže se da je transcendentan. Ovu reč je smislio Lajbnic. Transcendentne brojeve je 1884. otkrio Žozef Liuvil (1809-1882) koji je pronašao celu klasu tih brojeva.

Najvažniji i najpoznatiji transcendentni brojevi su e = 2.71828.... i p = 3.14159...
Broj e definiše se kao granična vrednost
e = lim(1+1/n)n
Simbol e uveo je 1736. Leonard Ojler, a Šarl Ermit (1822-1901) je dokazao njegovu transcendentnost 1873. godine.

Simbol p prvi je uveo engleski matematičar Vilijam Džons (William Jones, 1675-1749) u svojoj knjizi Synopsis Palmariorum Matheseos (1706), a Ojler usvojio 1737. Otada je opšte prihvaćeno da p predstavlja količnik obima i prečnika kruga. Transcendentnost broja p dokazao je 1882. godine nemački matematičar Ferdinand Lindeman (1852-1939) i time implicitno dokazao nemogućnost kvadrature kruga (jedan od tri čuvena problema antičke Grčke) upotrebom samo lenjira i šestara. Takođe je dokazano da je broj ep transcendentan, ali se ne zna, na primer, da li su pe, ee ili pp transcendentni; čak se ne zna da li su proizvod pe i suma p +e transcendentni ili ne.

Najranija zabeležena aproksimativna vrednost za p je Ahmesova vrednost p = 256/81 =
3.16049... sa Rajndovih papirusa (oko 1650. P. N. E. ). Ova vrednost proizilazi iz egipatske formule (d – d/9)2 za površinu kruga prečnika d.

Jedan od najlakših načina da se zapamti broj p koristi niz dvostrukih brojeva 1, 3 i 5, i glasi: Pođimo od niza cifara 113355; podelimo ga na dva dela 113,355; zatim uzmimo ove delove u obrnutom poretku 355,113; podelimo 355/113 i dobijamo p~3.14159292; što je tačno na šest decimalnih mesta. Ovaj metod je bio poznat Kinezu Tsu Čung-čihu (oko 480).

Postoje različite tehnike za pamćenje cifara broja p na različitim jezicima a sastoje se uglavnom od duhovitih rečenica. Jedna od najpoznatijih na engleskom jeziku je sledeća:
-How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum me-
chanics (Kako želim piće, alkoholno naravno, posle teških predavanja koja obuhvataju kvantnu mehaniku).
Broj slova svake engleske reči u ovoj rečenici predstavlja vrednost cifre u aproksimaciji
3.14159265358979 - 14 tačnih cifara.
-,,Pamtilica":
May I have a large container of coffee? (Mogu li dobiti veliku šolju kafe?)
je kraća ali efektna, dok je sledeća data u obliku stihova (Literary Digest, 1906):
-Now I, even I, would celebrate
In rhymes inapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance how to circles mensurate.
Evo jedne i na srpskom jeziku:
-Još i krug u školi upoznaješ (3.14159).

Razlomci

Interesantno je da se pojam razlomka pojavljuje nezavisno i mnogo kasnije od koncepta celog broja. Na primer, termini za 1/2 u različitim jezicima su: jedna-polovina, semis, moitie što nije direktno povezano sa rečima: dva, duo, deux.

Da bi računanja sa razlomcima učinili jednostavnijim i lakšim, Egipćani su predstavili sve razlomke, izuzev 2/3, kao zbir takozvanih jediničnih razlomaka, tj. razlomaka sa jediničnim brojiocima. Jedan od problema iz Rajndovih papirusa izražava 2/97 kao zbir 1/56 + 1/679 +1/776 (naravno, u egipatskim hijeroglifima). Napomenimo da se upotreba jediničnih razlomaka zadržala u izvesnoj meri čak i danas, na primer, u izražavanju kvaliteta dragocenih metala u jedinici karat; jedan karat označava 1/24-ti deo čistog zlata sadržanog u leguri (dakle, 24 karata označava čisto zlato).

Lako je izraziti 1 kao sumu različitih jediničnih razlomaka (tzv. egipatski razlomci); minimalno rešenje je razvoj 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6: Međutim, razvoj 1 po različitim jediničnim razlomcima sa svim neparnim imeniocima predstavlja težak problem koji je uz pomoć računara rešio 1971. japanski programer S. Jamašita. Postoji pet rešenja ovog problema, svako sa devet sabiraka:
1 =1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231
=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385
=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315
=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693
=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395.

Čuveni indijski matematičar-amater Srinivasa Ramanudžan (1887-1920) primetio je u
Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (Vol. 45, 1913-14, str. 350) da je broj ep√163 verovatno ceo. Naime, on je našao da je njegova vrednost osamnaestocifreni broj kod koga iza decimalne tačke sledi devet devetki:
ep√163 = 262 537 412 640 768 743:999 999 999 999...
Da se ispostavilo da je ovaj broj zaista ceo, to bi bilo jedno od najuzbudljivijih i najspektakularnijih otkrića u Teoriji brojeva.
Razvoj modernih računara omogućio je računanje u aritmetici višestruke preciznosti dajući
ep√163= 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 250 072...
Prema tome, razmatrani izraz ipak nije ceo broj mada je veoma blizu celog broja. Postavlja se prirodno pitanje: kako je moguće da izračunavanje, koje uključuje dva transcedentna broja e i p i iracionalan broj √163 (pritom je 163 prost broj) daje tako neverovatnu bliskost celom broju? Prema M. Somosu, objašnjenje ovog čudnog slučaja moglo bi se naći u sledećem razvoju:
ep163= 6403203 + 744 – 7.499274...x 10-13:

Kaprekarove konstante 6174:
Indijski matematičar D. R. Kaprekar je najpoznatiji van Indije po svom otkriću Kaprekarove konstante šezdesetih godina 20-tog veka. Ova konstanta dobija se na sledeći način. Polazeći od proizvoljnog četvorocifrenog broja, kome nisu sve cifre jednake, formiramo dva nova broja: jedan sa ciframa poređanim u opadajućem redosledu, a drugi sa ciframa u rastućem redosledu. Zatim od prvog (većeg) broja oduzmemo drugi (manji) broj i na taj način dobijamo novi broj. Ako ovaj proces sa razlikama nastavimo da ponavljamo, posle najviše 8 koraka stićićemo do Kaprekarove konstante 6174, koja tada generiše samu sebe i predstavlja kraj opisanog procesa.
Primer: Neka je 8273 polazni četvorocifreni broj. U prvom koraku dobijamo
1) 8732-2378 =6354. Tada nalazimo 2) 6543 - 3456 = 3087; 3) 8730 - 0378 = 8352;
4) 8532 - 2358 = 6174. Ovde se proces generisanja završava jer broj 6174 generiše sam sebe, naime, 7641-1467 = 6174 i dolazi do ponavljanja.

Baksuzni brojevi:
Dobro je poznato da se broj 13 smatra baksuznim brojem; mnogi hoteli (naročito u SAD)
nemaju sobu sa tim brojem. Fenomen ,,baksuznih brojeva" bio je izgleda oduvek prisutan. Tako u jezicima nekih afričkih plemena ne postoji reč za broj sedam već se zamenjuje složenicom 6+1.
Neki afrički narodi smatraju da brojanje ljudi, kuća, stoke može biti baksuzno. Postoji strah da bi brojanje ljudi ili vrednosti moglo prizvati nesreću. Da bi to izbegli, pripadnici naroda Kpele iz Liberije računaju pomoću gomila kamenja. U tome su toliko vešti da su u jednom eksperimentu prikazali daleko bolju sposobnost procene broja kamenčića na gomilama različitih veličina nego studenti sa Univerziteta Jejl. S druge strane, davali su veoma pogrešne procene broja kuća u selu ili broja ljudi koji u njemu žive, jer na ovakvo brojanje nisu navikli.

Pet
Broj pet javlja se u nekoliko interesantnih situacija u raznim oblastima matematike. Evo nekih primera:
1. Pet nekomplanarnih tačaka na jedinstven način definiše konus.
2. Postoji tačno pet pravilnih poliedara.
3. Sve grupe reda jednakog pet su proste.
4. Opšta algebarska jednačina stepena većeg ili jednakog pet ne može biti rešena pomoću
radikala.
5. Broj deljenja potrebnih da se nađe najveći zajednički delilac dva broja nije veći od pet x broj cifara manjeg broja (Lameova teorema).
6. Svaki pozitivan ceo broj može se izraziti kao suma najviše pet različitih pozitivnih ili negativnih celobrojnih kubova. (Postoji pretpostavka da je i četiri dovoljno.)

Veliki brojevi

Pretpostavimo da je veliki komad papira, debljine hiljaditog dela centimetra, presavijen
tačno na pola, a zatim da je dobijeni komad ponovo presavijen. Ako bi se ovaj proces presavijanja papira izvršio 50 puta, kolika bi bila visina dobijene gomile papira?
Mnogi će na ovo pitanje odgovoriti metar ili dva, oni oprezniji rekli bi možda 1 kilometar a najluđi odgovor mogao bi da bude, na primer, 100 kilometara. Međutim, tačan odgovor na ovo pitanje je krajnje zaprepašćujući: debljina papira iznosila bi preko 11 miliona kilometara!

Gugol i gugopleks:

Profesor Edvard Kasner sa Univerziteta Kolumbija u Njujorku sakupio je tokom godina neke interesantne podatke koji se tiču velikih brojeva:
1. Temperatura u centru eksplozije atomske bombe iznosi 2 x108 stepeni Farenhajta;
2. Procenjuje se da je ukupan broj reči izgovorenih od početka sveta približno 1018;
3. Ukupan broj štampanih reči počev od pojave Gutenbergove Biblije je nešto veći od 1017;
4. Starost Zemlje procenjuje se na oko 10 milijardi godina ili oko 1018 sekundi;
5. Poluvreme raspada uranijuma 238 iznosi 1.42 x 1017 sekundi;
6. Broj zrna peska na obali Koni Ajlenda kraj Njujorka je oko 1020;
7. Ukupno vreme širenja svemira je verovatno manje od 2000 miliona miliona godina, ili oko 1022 sekundi;
8. Masa Zemlje je oko 5.4 x 1024 kilograma;
9. Broj atoma kiseonika u jednom naprstku prosečne veličine iznosi oko 1027;
10. Prema teoriji relativiteta, prečnik univerzuma iznosi oko 1029 santimetara;
11. Broj snežnih kristala potrebnih da se formira ledeno doba bio bi oko 1030;
12. Ukupan broj načina da se 52 karte poređaju u niz je reda 8 x1067;
13. Ukupan broj elektrona u svemiru prema jednoj proceni iznosi oko 1079;
Baratajući s velikim brojevima, profesor Kasner je smatrao potrebnim da smisli naziv broja 10100, koji je znatno veći od bilo kog od prethodno navedenih brojeva. Konačno je usvojio naziv gugol koji mu je predložio njegov devetogodišnji nećak. Kasnije, kada se pokazalo da ni ovaj broj nije dovoljno veliki, uveden je naziv gugolpleks za broj 10gugol.

Ubedljivi gigant među giganskim brojevima je Skjuesov broj. U odnosu na njega čak i
gugolpleks je patuljak. Ovaj broj nazvan je prema engleskom matematičaru Skjuesu (Skewes), a pojavio se u vezi sa izučavanjem distribucije prostih brojeva i iznosi10101034 .

Ukupan broj svih mogućih poteza u jednoj šahovskoj partiji je reda 101050
Čuveni matematičar Godfri H. Hardi (1877-1947), dugogodišnji profesor Univerziteta u Kembridžu, jednom je izneo sledeću zanimljivu teoriju. Ako bismo pretpostavili da je ceo univerzum jedna trodimenzionalna šahovska tabla na kojoj su figure protoni i ako pod potezom u ovoj kosmičkoj igri smatramo zamenu mesta bilo koja dva protona, tada bi ukupan broj mogućih poteza bio upravo Skjuesov broj.

Najveći broj ikad korišćen u matematičkom dokazu je granična vrednost publikovana 1977. u radu Ronalda Grahama, matematičara i istaknutog naučnika u oblasti kompjuterskih nauka zaposlenog u kompaniji AT&T Bell Labs (Murej Hil, SAD). Taj broj se odnosi na bihromatske hiperkocke koje se pojavljuju u Ramzejevoj teoriji, i nemoguće ga je iskazati bez posebne notacije sa ,,strelicama" . Notaciju je smislio 1976. čuveni Donald Knut, profesor Univerziteta u Stenfordu. Ovaj broj prikazan je pomoću 64 sloja. On je tako neshvatljivo veliki da nema žički analogon čak ni u odnosu na broj atoma u vasioni.

Prosti brojevi

Još su stari Grci znali da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Jedan od dokaza može se naći u Euklidovim Elementima (Knjiga IX, Propozicija 20). Nemački matematičar Peter Ležen Dirihle (1805-1859) dokazao je da svaka aritmetička progresija a; a+d; a+2d;...; gde su a i d relativno prosti projevi (tj. njihov najveći zajednički delilac je 1) sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva. Dokaz nije jednostavan.

Broj 357 686 312 646 216 567 629 137 je najveći (do sada) pronađeni prost broj koji
uvek ostaje prost ako mu izbrišete proizvoljan broj cifara polazeći od prve. Evo čudne liste prostih brojeva:
357686312646216567629137
57686312646216567629137
7686312646216567629137
               .............................
                                   137
                                   37
                                   7

Najveći poznati prost broj (u ovom momentu) je 41. Mersenov prost broj (broj oblika 2n - 1)
224036583 - 1
koji ima 7 235 732 cifara, a pronađen je juna 2004.

Terminologija

Apstraktno prikazivanje brojeva pomoću kamenčića i računanje na taj način, donelo
nam je latinsku reč kalkulacija, što znači rukovanje kamenčićima. Ovaj termin vodi poreklo od latinske reči calculus, što znači šljunak, koja je prevedena u srednjovekovno-latinsku reč calculare - računati.
Karl Meninger je u svojoj knjizi Number Words and Number Symbols, a Cultural History of Numbers (The M.I.T. Press, 1969) sistematizovao poreklo glagola ,,računati" u različitim jezicima. Istraživanje korena porekla ove reči dovelo je do najstarijih instrumenata za računanje - prstiju, raboša, računaljke.

Kada su Amerikanci okupirali Japan 1945. godine, zapazili su da japanski trgovci i deca u školama koriste jedan čudan instrument za izvršavanje aritmetičkih operacija. Ovaj instrument, koji se zove japanski abakus ili soroban, delovao je primitivno i koštao je u to vreme 25 centi. Amerikanci su raspolagali savremenim električnim mašinama za računanje po ceni od $700. U želji da demonstriraju svoju superiornost nad pokorenim ratnim protivnikom, Amerikanci su organizovali javno takmičenje u brzini računanja. Japance je predstavljao 22-godišnji Kijoši Macuzuki sa običnim abakusom a Amerikance, takođe 22-godišnak, poručnik Tomas Jan Vud sa električnom mašinom. Pred oko 3000 gledalaca Macuzuki je demonstrirao takvu brzinu baratanja abakusom da je dobio nadimak ,,ruke" i ubedljivo porazio Vuda u kategorijama sabiranja, oduzimanja, deljenja i kombinovanih zadataka. Vud je uspeo da bude bolji samo u množenju, što nije mnogo popravilo utisak neočekivanog teškog poraza.

Glavna pokretačka snaga razvoja matematike u najranijem periodu, ali i vekovima kasnije (od Vavilona pa sve do Ojlera i Laplasa), bile su praktične potrebe merenja zemlje i astronomije, što je bilo izuzetno važno u agrarnim društvima (potrebe irigacije i poljoprivrede) a takođe i u moreplovstvu. Mnogi termini koje danas koristimo potiču od tih praktičnih potreba. Na primer, geometrija znači ,,merenje zemlje" na grčkom, što je nastalo od reči Γη(ge) - zemlja i μετριυ(metrein) - meriti.

Mnoge stare mere za dužinu proistekle su sasvim prirodno od različitih delova ljudskog tela. Na primer, u drevnom Egiptu i Sumeru kao manja jedinica za dužinu koristio se kubit - rastojanje od lakta do vrha srednjeg prsta. Naravno, ova jedinica je varirala od čoveka do čoveka, kao što je slučaj i sa merama stopa, ruka, šaka, prst (širina kažiprsta), jard (rastojanje od vrha nosa do kraja ispružene ruke).
Da bi se dobila jednoznačna mera, jard je u Engleskoj standardizovan kao rastojanje od vrha nosa do kraja ispružene ruke kralja Henrija I. Sama reč ,,jard", na engleskom ,,yard", potiče od anglo-saksonske reči ,,yerde" koja znači štap, a danas se često koristi u značenju štap dugačak jedan jard (91.4 cm).
Rimljani su koristili duodecimalni sistem (sa osnovom 12) pa su shodno tome delili stopu na dvanaest jednakih delova koje su zvali ,,unciae" (dvanaestina). Odatle je dobijena reč unca a takođe i engleska reč inč. 1324. godine kralj Edvard II standardizovao je inč kao dužinu ,,tri ječmena zrna, okrugla i suva položena uzduž".
Reč milja potiče od latinskog ,,mille passuum", što je značilo hiljadu duplih koraka. Smatra se da je jedan korak u rimskoj vojsci bio trideset inča, a rimska milja je bila pet hiljada stopa. Međutim, milja se znatno razlikovala od zemlje do zemlje. Slično je sa jedinicom mere liga, koja se takođe vrlo razlikuje u različitim delovima sveta.

Stari Grci su osnovali aritmetiku kao vrstu teorije brojeva. Naziv Αριθμητική (arithmetike') potiče od grčke reči άριθμόs (arithmos'), što znači broj. Ovaj termin je preveden na latinski kao aritmetika, a preko latinskog jezika univerzalno prihvaćen u svim jezicima.

Nazive elipsa (znači nedostatak), parabola (stavljanje pored ili poređenje) i hiperbola (bacanje dalje) je uveo Apolonije, koji je živeo u trećem veku pre nove ere.

Poreklo engleske reči sine (sinus) je prilično neobično i potiče od niza pogrešnih prevođenja sanskritske reči ardha-jua (polu-akord). Indijski matematičar Arijabata (oko 474- oko 550) skratio je ovaj termin na jua (akord) ili njen sinonim jiva. Zatim su Arapi fonetički prepisali ovu reč u (reč bez značenja) jiba, ali napisanu kao jb jer je arapski izostavljao samoglasnike. Kasniji arapski pisci su zamenili jb sa jaib, što je arapska reč koja znači ,,pećina" ili ,,zaliv". Gerardo iz Kremone (12. vek), kada je prevodio arapski rad iz trigonometrije na latinski, zamenio je arapski jaib ekvivalentnom latinskom reči sinus, odakle je nastala engleska reč sine.
Najranija upotreba skraćenica sin, tan, sec za sinus, tangens i sekans pojavila se 1626. godine u radu Albera Žirara (Albert Girard, 1595-1632) o trigonometriji.

Švajcarski matematičar Johan Lambert je prvi (1768) koristio imena hiperbolički sinus (sinh x) i hyperbolički kosinus (cosh x) za funkcije (ex – e-x)/2 i (ex + e-x)/2. On je takođe uspostavio analogiju između ovih funkcija i običnih trigonometrijskih funkcija sinus i cosinus. Međutim, Lambert nije bio prvi koji je uveo ove funkcije u trigonometriju. Prema M. Kantoru (Encyclopedie des sciences mathematiques, Vol. IV, 1908, str. 411), ta čast pripada Vinčencu Rikatiju (Vincenzo Riccati, 1707-1775), sinu mnogo poznatijeg Jakopa Rikatija (Jacopo Riccati, 1676-1754).

Veliki uticaj Arapa na savremenu matematiku vidi se i kroz reči arapskog porekla algebra i algoritam. Hindu brojevi su bili poznati u Bagdadu još u 8. veku. Oko 825. godine veliki arapski matematičar Abu Džafer Muhamed ibn Musa al-Horezmi upoznao je Hindu sistem proučavajući knjigu iz astronomije Sidhanta čuvenog indijskog matematičara i astronoma Brahmagupte. Odmah je shvatio njihovu vrednost i napisao knjigu objašnjavajući način upotrebe. Ovu knjigu je preveo na latinski Adelard iz Bata (oko 1120) pod naslovom Liber Algorismi de numero Indorum (O indijskom broju - delo Algoritma). Otuda, termin algoritam, koji danas označava postupak izračunavanja korišćenjem više specificnih metoda, predstavlja latinski prevod imena al-Horezmi.

Termin algebra vodi poreklo od naziva knjige velikog arapskog matematičara al-Horezmija (9. vek) koji u originalu glasi Hisab al-jabr w'al-mukabalah (oko 825). Sadržaj knjige obrađuje većinom procedure za rešavanje jednačina tako da reč al-jabr počinje da se upotrebljava za celokupnu algebru, koja je i inače sve do sredine 19. veka bila samo nauka o jednačinama. Reči al-jabr (jabr je od jabara što znači ponovo sastaviti i učvrstiti) i mukabalah, su tehnički termini koji se odnose na prebacivanje negativnih članova na drugu stranu jednačine i skraćivanje sličnih članova sa obe strane jednačine, respektivno.

Svi dokazi teorema u Euklidovim Elementima završavaju se rečenicom Quod erat demonstrandum, što prevedeno sa latinskog znači: što je i trebalo dokazati. Iz počasti prema Euklidu bilo je uobičajeno da se kraj dokaza označi slovima Q.E.D, kao skraćenica od Quod Erat Demonstrandum, i ova tradicija je dugo poštovana, posebno u udžbenicima iz geometrije. Simbol (obojeni kvadrat), koji se danas često koristi kao oznaka za kraj dokaza, predložio je Pol Halmoš, američki matematičar mađarskog porekla. Osim ove, koriste se i druge oznake. U engleskom jeziku posebno je dovitljiva oznaka w5, što je skraćenica od ,,which was what was wanted" (,,što je ono što se tražilo").

Moderne termine tangenta (tangent) i tetiva (secant) je prvi uveo Tomas Fink (1561- 1656) u svom radu Geometria rotundi libra XIV iz 1583.
U matematici ima mnogo krivih koje su dobile svoja imena prema pronalazaču ili nekom potonjem istraživaču. Među njima su: Arhimedova spirala, Bernulijeva lemniskata, Bertranove krive, Bolcmanova kriva, Koutsova spirala, Dekartov list, Ojlerova spirala, Fermaove parabole, Fermaove hiperbole, Fermaove spirale, Gausova kriva, žerononova leminiskata, Hilbertova kriva,Lopitalova kubna kriva, kieroid (nazvan po P. J. Kiernanu), Kohova kriva, Lameove krive, Peanova kriva, veštica Anjezi, Vivijanieva kriva.
U matematici se često sreću nazivi kao što su Bernulijeva raspodela, Bernulijeva teorema (u verovatnoći i statistici), Bernulijeva diferencijalna jednačina, Bernulijevi brojevi, Bernulijevi polinomi, Bernulijeva lemniskata. Pitanje je u čiju čast su dati ovi nazivi jer je porodica Bernuli bila mnogobrojna i veoma produktivna u matematici. Odgovor: svi ovi pojmovi i nazivi su dati u čast samo jednog od njih - Jakoba Bernulija.

Reč logaritam znači racionalan broj od grčkog λόγοs (logos - količnik) i αριθμοs (arithmos)-broj i konstruisao ju je Džon Neper (1550-1617), škotski matematičar. Neper je najpre upotrebio izraz veštački broj za svoje otkriće, ali ga je kasnije zamenio rečju logaritam. Henri Brigs (Henry Briggs, 1561-1631), profesor geometrije na Grešem koledžu u Londonu, koji je sugerisao Naperu da uvede bazu 10 u svoj sistem, predložio je u svojoj Arithmetica logarithmica (1624) reč karakteristika, kao što se koristi u logaritmima. Brigs je takođe uveo reč mantisa (od kasno-latinskog termina etrurskog porekla sa značenjem ,,dodavanje" ili ,,dodatak"), koja se pojavila u Valisovoj knjizi Algebra (latinsko izdanje, 1685) i Ojlerovom delu Introductio in analysis infinitorum (Uvod u analizu beskonačnih veličina, 1748).

Iako je čuveni francuski matematičar i filozof Rene Dekart (1596-1650) u svojoj knjizi La Geometrie (1637) dao prvu studiju o analitičkoj geometriji i upotrebio pravougli (Dekartov) koordinatni sistem za rešavanje mnogih problema, termine koordinate, apscisa i ordinata je uveo Lajbnic 1692. godine.
U svom pismu Lajbnicu (1715), Johan Bernuli je uveo koordinatni sistem u prostoru (Oxyz), kakav danas koristimo.

Naziv determinanta se po prvi put pojavio 1815. u Košijevom radu o teoriji determinanata. Ovaj rad takođe sadrži skraćenicu (aij) i postupak za izračunavanje determinante pomoću razvoja po bilo kojoj vrsti ili koloni. Eduard Firstenau (Furstenau) je uveo pojam determinante beskonačnog reda 1860. radeći na metodu aproksimacije korena algebarskih jednačina.
Termin matrica uveo je 1850. Džejms Džozef Silvester (1814-1897) da označi pravougaonu šemu brojeva. Ovaj termin je često koristio njegov prijatelj Artur Kejli (1821-1895) u radovima iz 1855. i 1858. Međutim, treba napomenuti da su takve šeme brojeva koristili kineski matematičari još u trinaestom veku u vezi rešavanja sistema linearnih jednačina.

Lajbnic, koji je bio veliki inovator matematičkih simbola i oznaka, uveo je 1694. termin funkcija (što na latinskom znači ekvivalentno) za označavanje zavisnosti promenljive y od promenljive x.Godine 1734. Ojler je upotrebio notaciju f(x) da označi ,,funkciju od x." Oznake f’(x); f”(x);... za izvode funkcije, uveo je Lagranž (1736-1813) u svom radu Theorie des fonctiones analytique... iz 1772. On je f ‘(x) nazvao fonction đerivee (izvod funkcije) s obzirom da je f’ ,,izvedena" iz originalne funkcije f.

Simboli

Francuski pravnik i matematičar Fransoa Vijet (1540-1603) dao je značajan doprinos pojavi i razvoju univerzalne simbolike. On je prvi upotrebio slova za izražavanje brojnih koeficijenata pri rešavanju jednačina, mada je još uvek pisao različite stepene promenljivih pomoću slova (na multiplikativnom principu). Na primer, Vijet je pisao (oko 1590.)
1QC - 15QQ + 85C - 225Q + 274N aequatur 120
za izraz
x6 - 15x4 + 85x3 -225x2 + 274x = 120.
Odavde se vidi da je x6 izraženo pomoću slova QC, dakle, kao proizvod kvadrata Q i kuba C nepoznate N.

Rene Dekart je primenom algebre u geometriji mnogo doprineo usavršavanju Vijetove simbolike. U svom delu La Geometrie (1637) izvršio je sintezu algebre i geometrije stvorivši tako analitičku geometriju. Uveo je tzv. dekartove koordinate, a algebarske jednačine postale su relacije među brojevima, što je bio dalji napredak u matematičkoj apstrakciji.

Početkom 6. veka indijski matematičar Arijabata skratio je nepoznate na ya (prva nepoznata, što vodi poreklo od javatavat, ,,mnogo kao"), a zatim dolazi ka, ni, pi, što su skraćenice imena boja crna, plava, žuta. Stepeni su nazvani va (drugi stepen), slede gha, va va, va gha, i tako dalje. Operacije su pokazane posle operanda rečima ghata i bha, što označava sabiranje i množenje, respektivno. Na primer, xy je ya ka bha, gde su x i y nepoznate.
Nepoznate promenljive u evropskoj matematici petnaestog i šesnaestog veka nosile su različita imena kao što su res (na latinskom), cos (na nemačkom), cosa (na italijanskom) i chose (na francuskom).
Fransoa Vijet je koristio slova da izrazi kako poznate tako i nepoznate veličine. Pravilo je bilo da samoglasnici označavaju nepoznate, a suglasnici koeficijente pri rešavanju jednačina. Dekart je uveo konvenciju koja se koristi i danas da se poznate veličine označavaju početnim slovima abecede: a; b; c;... a nepoznate poslednjim slovima ... ; x; y; z.

Današnji simboli + i - pojavili su se u štampi po prvi put u aritmetici Johana Vidmana, publikovanoj u Lajpcigu 1489. Vidman nije upotrebio ove znake kao simbole operacija već samo da ukaže na višak i manjak. Upotreba ovih znakova kao simbola algebarskih operacija počela je u radovima holandskog matematičara Vandera Hekea 1514. i Nemaca Mihaela Štifela i Adama Rajza, mada su verovatno korišćeni i ranije. Znak plus vodi poreklo najverovatnije od latinske reči et, koja je često korišćena da označi sabiranje, dok je znak minus redukcija skraćenice m za minus.

Kvadratni koren je najpre bio predstavljen slovom R kao inicijalom latinske reči Radix (koren). Italijanski matematičar Luka Pačoli (oko 1444-oko 1509) koristio je R ili R2 za označavanje kvadratnog korena, R3 za treći koren, a za četvrti koren R4 ili RR (od RadixRadix).
Na primer, on je pisao RV 40 mR320, gde slovo V u gornjoj formuli označava koren preko celog izraza i dolazi od V = U(niversalis). Simbol za kvadratni koren √ razvio se postepeno od malog slova r (od radix - koren), što je prvi koristio u svojim radovima Rafael Bombeli. Današnji oblik (sa gornjom crtom) uveo je Dekart 1637. godine.

Znak jednakosti ,,=" uveo je 1557. engleski matematičar Robert Rikord (oko 1510-1558) u svojoj knjizi The Whetstone of Whitte, prvoj engleskoj algebri. ,,Njemu se činilo da nijedne dve stvari ne mogu biti `more equalle' (više jednake) od `para paralelnih crta'- što podseća na izreku da su `Vilijam i Džon,' blizanci, veoma slični, naročito Vilijam." Lajbnic i Njutn su imali veliki udeo u tome da znak = zameni Dekartov simbol ∞.

LITERATURA:

• Miodrag Petković, Ljiljana Petković: MATEMATIČKI VREMEPLOV, prilozi za istoriju matematike, ZMAJ, Novi Sad 2006.

• www.vets.edu.yu/im/htm/Radionica/Istorija.html

• http://sh.wikipedia.org/wiki/Dekadni_sistem

• http://antje.users.cg.yu/brojevi.html

• www.dms.org.yu/prilozi

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi