Tokom poslednjih vekova drugog milenijuma pre nove ere u bazenu Sredozemnog mora i u susednim oblastima nastupile su veoma velike promene u ekonomskom i političkom životu.
Bronzano doba zamenjeno je ovim, koje nadrazivamo gvozdeno doba. To se odigralo u nemirno vreme velikih seoba naroda i ratova. Veoma malo znamo o toj revoluconarnoj epohi. Poznato je da je pri kraju te epohe, otprilike oko 900. godine pre nove ere,već nastalo carstvo Minosa i Hetska država, da su Egipat i Vavilonija veoma oslabili i da su na istorijsku scenu stupili novi narodi. Vodeći među tim narodima su Jevreji, Asirci, Feničani i grci.Potiskovanje bronze od strane železa označilo je ne samo preokret u ratnim veštinama već je i ubrzalo razvitak ekonomike zahvaljujući pojeftinjenju sredstava za proizvodnju, a to je omogućilo aktivnije učešće širokih slojeva društva u poslovima ekonomskog i društvenog zanačaja.. Pojavile su se i dve značajne novine: nepodesno pismo staroga istoka zamenjeno je veoma pristupačnim alfabetom i počeo je da se upotrebljava kovani novac, što je pomogao razvitak trgovine. Nastupilo je vreme kada više kulturne vrednosti nisu mogle ostati isključivo svojina istočnjačkog činovništva.
Akcije morskih razbojnika-kako su u egipatskim tekstovima nazivani narodi koji su se selili- bile su u početku praćene velikim gubitcima kulturnih dobara. Kritska civilizacija je nestala, nastupio je period dekadenicije egipatske umetnosti, kao i period stagnacije egipatske i vavilonske nauke. Iz tog prelaznog perioda nemamo nikakvih matematičkih tekstova. Kada su se prilike stabilizovale stari Istok se oporavio i uglavnom je ostao veran tradiciji. Međutim istovremeno su stvoreni uslovi i za jednu novu civilaziju- grčku civilizaciju.
Gradovi, koji su nastali na obali Male Azije i u samoj Gračkoj, nisu više bili administrativni centri zemalja u kojima se razvijala irigacona zemljoradnja. To su bili trgovački gradovi, gde su feudalci- zemljoposednici staroga poretka bili osuđeni na poraz u borbi koju im je nametnula nezavisna i politički svesna klasa trgovaca. U toku VII i VI veka pre nove ere trgovački sralež je izbio na površinu, ali je i on morao da stupi u borbu sa sitnim trgovcima i zanatlijama-sa demosom. Kao rezultat svega toga nastupio je procvat grčkih polisa-samoupravnih gradova- država- što je predstavljalo novu društvenu pojavu. Ti gradovi su se potpuno razlikovali od ranijih gradova- drđava sumeraca i u drugim zemljama Istoka. Najnačajniji gradovi- države nalazili su se u Joniji, na anatolskoj obali. Trgovina koja se stalno razvijala povezala ih je sa svim oblastima Sredozemnog mora, Mesopotamijom, Egiptom, Skitima, pa čak i sa veoma udaljenim zemljama. Dugo vremena je dominirao grad Milet. Međutim, gradovi na drugim obalama, kao što su Kornit, kasnije Atina(koji se nalazio u samoj Grčkoj), zatim Kroton i Tarnet(u Italiji), Sirakuza(na Siciliji) idrugi postajali su sve bogatiji i značajniji. Novi društveni poredak stvorio je novi tip čoveka. Trgovac- putnik nikada još nije bio tako nezavisan i znao je da je ta nezavisnost stečena u upornoj i žestokoj borbi. On nikako nije mogao prihvatiti zastarela shvatanja Istoka. Taj trgovac- putnik živeo je u periodu geografskih otkrića, koji se mogu uporediti samo sa otkrićima zapadnoevropskog XVII veka; on nije poznavao ni apsolutnog monarha, ni vlast, koja je predstavljena u vidu božanskog zaštitnika. A osim toga on je imao i slobodnog vremena s obzirom na svoje bogatstvo i rad robova, pa je mogao razmišljati o svetu koji ga je okruživao. Odsustvo jasno određene religije dovelo je mnoge sranovnike tih primorskih gradova do misticizma, ali je istovremeno uticalo i u suprotnom smeru- doprinelo je razvoju racionalizma i nsučnog prilaženja problemima.

Savremena matematika na stala je u atmosvferi jonskog racionalizma. To je bila matematika koja nije postavljala samo istočnjačko pitanje kako? Nego i savremeno naučno pitanje zašto?. Prema predavanju, otac grčke matematike je miletski trgovacTales, koji jeu prvoj polovini VI veka putovao u vaviloniju i Egipat. Iako je on možda potpuno legendarna ličnost, ipak je iza nje ostalo nešto potpuno realno. To simboliše situaciju u kojoj su udarni temelji ne samo savremene matematike već i celokupne savremene nauke i filozofije.
U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj- da shvati kakvo mesto zauzima čovek u vasioni, i to u okviru neke racionalne sheme. Matematika je doprinela da se uspostavi red u tom haosu, da se ideje povežu u logičke nizove i da se otkriju osnovni principi. Ona je u poređenju sa ostalim naukama dostigla najviši nivo teoriskog razvitka. Nesumljivo je da su grčki trgovci, na svojim putovanjima, upoznali istočnjačku matematiku. Grci su brzo ustanovili da se ljudi Istoka uopšte nisu bavili teorijom. Zašto su u jednakokrakom trouglu dva ugla jednaka? Zašto je površina trougla jednaka polovini površine pravougaonika jednakih osnovica i visina? Takva pitanja, prirodno, postavljali su oni ljudi koji su slična pitanja postavljali i u oblasti kosmologije, biologije i fizike.
Na žalost, ne postoje podatci o tome ranom periodu razvitka grčke matematike.rukopisi koji su se sačuvali pripadaju epohi hrišćanstva i islama i samo veoma malo dopunjuju beleške u egipatskim papirusima, koji su nešto starijeg datuma. Klasična filozofija je , međutim, pomogla da se rekonstruišu tekstovi iz IV veka pre nove ere, kao i tekstovi iz bližeg perioda. Zahvaljujući tome imamo solidna izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija i drugih velikih antičkih matematičara. Međutim, ti tekstovi sadrže već potpuno izgrađenu matematičku nauku, pa je teško, čak i pomoću kasnijih komentara, pratiti tok istorijskog razvitka. Prema tome, o epohi formiranja grčke matematike možemo da zaključujemo samo na osnovu manjih fragmenata, koji se nalaye u kasnijim radovima, kao i na osnovu zapažanja filozofa i drugih autora , koji nisu bili samo matematičari. Veoma mnogo pažnje i truda bilo je posvećeno kritici tekstova i na osnovu toga je osvetljen veliki broj tamnih mesta iz tog ranog perioda. Radovi istraživača kao što su bili Pol Taneri, His , Cejten, Frank idr., omogućili su nam da steknemo dosta povezanu, mada za većidea samo hipotetičku sliku grčke matematike u epohi njenog formiranja.

III

U VI veku pre nove ere na razvalinama Alpske impeije izrasla je nova velika istočnjačka država- Persija Ahemenida. Ona je pokorila anatolske gradove, ali društveni poredak sa grčkog kopna već je bio pustio tako duboke korene da se nije mogao uništiti Persijska najezda bila je zaustavljena u istirijskim bitkama kod Maratona, Salsmine i Plateje. Glavni ishod grčke pobede bio je proširenje i ekspanzija Atine. U drugoj polovini V veka, u vreme Penikla, uticaj demokratskih elemenata stalno je rastao. Oni su bili pokretačka snaga ekonomske i vojne ekspanzije, i oko 430. godine Atina je postala ne samo centar Grčke imperije nego i centar nove interesantne civilizacije- zlatnog doba Grčke.
U okvirima socijalne i političke borbe filozofi i nastavnici su stvarali teorije, atime i novu matematiku. Prva grupa kritičk orijentisanih filozofa u istoriji, u okolnostima društvene i političke borbe, tzv.sofisti, koji su bili manje sputani tradicijom u poređenju sa bilo kojom ranijom grupom naučnika, počeli su razmatrati matematičke probleme više zbog toga da bi objasnili njihovu suštinu, a ne radi praktične koristi. Pošto je takav pristup omogućio sofistima da dođu do osnovnog egzaknog mišljenja, bilo bi veoma poučno upoznati način njihovog razmišljanja. Na žalost, iz toga perioda je do nas dospeo u celini samo jedan matematički fragment,koji pripada jonskom filozofu Hipokratu sa Hiosa.Način matematičkog razmišljanja u tome fragmentu je na veoma visokom nivou. Karakteristično je da se u njemmu razmatra jedno teoretski suštinsko pitanje o tzv. Polumesecima, tj. Ravnim figurama koje su ograničenesa dva kružna luka. Zadatak koji se sastojao u nalaženju površina tih polu meseca, racionalno izraženih pomoću prečnika, u diriktnoj je vezi sa centralnim problemom ggrčke matematike – kvadraturom kruga. Hipokratova analiza tog problema pokazuje da su matematičari zlatnog doba Grčke već bili izgradili sistem ravne geometrije, gde je u potpunosti primenjen princip logičkog zaključivanja od jednog tvrđenja do drugog(apagoge). Na osnovu naziva knjige koja se pripisuje Hipokratu Elementi(Stoicheia) može se zaključiti da su bili udareni temelji aksiomatike. Takav naziv imali su svi grčki traktati, uključujući i Euklidov. Hipokrat je ispitivao površine ravnih figura, ograničenih kako pravim linijama tako i kružnim lucima. On uči da se površine sličnih kručnih odsečaka odnose kao kvadrati odgovarajućoh tetiva, poznaje i Pitagorinu teoremu, kao i odgovarajuću nejednakost za kosougle trouglove. Ceo njegov traktat mogao bi se pripisati Euklidovoj tradiciji da Hipokrat nije bio više od jednog veka stariji od njega.
Problem kvadrature kruga je jedan od tri značajna ploblema antike, koji su se u to vreme počeli proučavati. Ti problemi susledeći:

Trisekcija ugla, tj. Podela ma kog ugla na tri jednaka dela.
Udvostručenja kuba, tj.određivanje ivice kocke koja bi imala zapreminu dva puta veću od zapremine date kocke(tzv. Delfijski put)
Kvadratura kruga, tj. Nalaženje takvog kvadrata čija bi površina bila jednaka površini datoga kruga.

Značaj tih problema je u tome što se oni nemogu tačno rešiti geometrijski pomoću konačnog broja konstrukcija pravih linija i kružnica. To se može učiniti samo priblližno, pa su zbog toga ti problemi inicirali ulaženja u nove oblasti matematike. Prva dva problema obično su svođenja na nalaženje dve duži, x i y, iz a : x=x : y=y , gde su a i b date duži. Ovaj zadatak je proširenje zadatka u kome se traži x iz a: x= x: b, tj. geometrijska sredina, ali dvostruka geometrijska sredina ne može se naći samo pomoću šestara i lenjira. U vezi sa proučavanjem tih problema bili su otkriveni konusni preseci, neke krive trećeg i četvrtog reda i transcedentna kriva koja je nazvana kvadratisa. Mada se ti problemi pominju u vidu anegdota, (delfijsko proročanstvo i sl.), njihov značaj ne trba da razmatramo sa nekim predubeđenjem. Više puta s dešavalo da je osnovni smisao pitanja izlagan u vidu anegdota ili zagonetki. Podsetimo se na Njutnovu jabuku, Kardanovo krivokletstvo, uključujući tu i našu, pokazali su da postoji veza izmeđutih grčkih problema i savremene teorije jednačina i da ona tangira pitanja iz oblasti racionalnosti algebarskih brojeva i teorije grupa.

Verovatno se od grupe sofista, koji su u izvesnoj meri bili povezani sa demokratskim pokretom, odvojila grupa filozofa sa posebnim interesovanjem za matematiku i škole- Pitagore, koji je kako se pretpostavlja, bio mistik, naučnik, državnik aristoktatskog kova. Sofisti su uglavnom naglašavali realnost primene, dok su pitagorejci nastojalli da u prirodi i drštvu nađu nepromenljivo. U traganju za večnim zakonima vesione, oni su izučavali geometriju, aritmetiku, astronomiju i muziku(kvadrijum). Vodeći predstavnik pitagorejaca bio je Arhit iz Tarenta, koji je živeo oko 400. godine pre nove ere. Prema hipotezi Franka , njegovoj školi treba pripisati najveći deo pitagorejske matematike. Pitagorejska aritmetika bila je uglavnom spekulativna nauka i nije imala mnogo zajdničkog sa svojom savremenicom –nmeričkom tehnikom Vavilonije. Brojeve su delili na klase: parne, neparne, parno-parne, neparno-neparne, proste i složene, savršene, prijateljske, trougaone, četvorougaone, petougaone itd. Najinteresantnije rezultate su postigli u proučavanju ,,trougaonih“ brojeva, koji su povezivali aritmetiku i geometriju.
Naš termin ,,kvadratni brojevi“ potiče od pitagorejskih konstrukcija.
Same figure su mnogo starije. Neke od njih nalazimo i na neolitskoj keramici. Pitagorejci su ispitivali njihove osobine i tu uneli svoj numerički misticizam. Brojevi su postali osnova njihove filozofije vasione. Nastojali su da sve odnose svedu na numeričke odnose (sve je broj). Tačka je bila jedinstvenost u položaju. Naročito je značajan bio odnos brojeva (logos, lat. ratio). Jednakost odnosa čini proporciju. Oni su razlikovali aritmetičku (2b = a + c ), geometrijsku (b²=ac) i harmonijsku proporciju (2/b=1/a+1/c). Te proporcije oni su interpretirali filozofski i sociološki.
Pitagorejcima su bile poznate neke osobine pravilnih mnogouglova i pravilnih poliedara. Oni su pokazali kako se ravan može popuniti sistemom pravilnih trouglova, kvadrata ili pravilnih šestouglova, a prostor- sistemom kocki. Kasnije je Aristotel pokušao to da dopuni netačnim tvrđenjem da se prostor može popuniti pravilnim tetraedrima. Moguće je da su pitagorejci znali za pravilan dodekaedar i tetraedar. Za dodekaedar se ova pretpostavka može potkrepiti time što kristali pirita, koji su nalaženi u Italiji, imaju oblik dodekaedra, a slike takvih figura na ornamentima ili kao magični simboli potiču još iz vremena Etruraca.
Pitagorinu teoremu su pitagorejci pripisivali svom učitelju i pričali su da je on kada ju je pronašao prineo kao žrtvu bogovima sto bikova u znak zahvalnosti. Međutim, već smo videli da je ta teorema bila poznata u Vaviloniji u vreme Hamurabija, ali je potpuno moguće da je prvi opšti dokaz te teoreme dat u pitagorejskoj školi.
Najznačajnije od otkrića koja su pripisivani pitagorejcima bilo je otkriće racionalnosti u vidu nesamerljivih diži. Moguće je da su do tog otkriža došli i proučavanjem geometriske sredine a:b=b:c, koje je naročito interesovalo pitagorejce, a služila je kao simbol aristokratije. Čemu je jednaka geometrijska sredina jedinice i dovijke-ta dva sveta simbola? Traženje odgovora na ovo pitanje vodi ka izučavanju odnosa stranice i dijagonale kvadrata i pronađeno je da se taj odnos ne izražava brojem, tj. onim što danas nazivamo racionalnim brojevima (celim brojevima i razlomcima). Ovo može da se dokaže na sledeći način prema Aristotelu
Neka je taj odnos jednak p:q, gde cele brojeve p i q možemo smatrati uzajamno prostim. Tada je p²=2q². To znači da je p², pa prema tome je i p paran broj, tj. p=2r. Tada q mora biti neparan broj, ali kako je q²=2r² to i q mora biti, takođe, paran broj. Izlaz iz te renesanse, nego u negiranju teorije brojeva za takve slučajeve i u traženju sinteze u geometriji.
Do toga otkrića, koje je narušilo prirodnu harmoniju između aritmetike i geometrije, verovatno se došlo tokom polednje decenije V veka pre nove ere. Osim toga, pojavila se i druga teškoća koja se ispoljila u shvatanjima realnosti promene. Time se jjoš uvek bave filozofi. Otkriće te nove teškoće pripisuje se Zenonu Helenskom (oko 450. godine pne), koji je bilo učenik Parmenida, konzervativnog filozofa, po čije učenju razum shvata samo apsolutno biće, a promena je samo prividna. To je poprimilo matematičko značenje onda kada su se matematičari počeli baviti beskonačnim procesima-npr. Pri određivanju zapremine piramide. Zenonovi paradoksi su došli u protivrečnost sa nekim starim i intuotivnim predstavama beskonačno malih i beskonačno velikih veličina. Oduvek se smatralo da se zbir beskonačno mnogo veličina može učiniti koliko se želi velikim, pa čak i ako je svaka od tih veličina beskonačno mala(∞×ε=∞ ) kao da i je zbir konačnog i beskonačnog broja veličina reda nule jednak nuli( n×0=0, ∞×0=0). Zenonova kritika bila je uperena protiv takvih predstava i njegova četiri paradoksa izazvala su takvo uzbuđenje koje se do danas nije potpuno smirilo. Ti paradoksi su nam poznati zahvaljujući Aristotelu, i to pod nazivima Ahil, Strela, Dihotomija i Stadin. U formulaciji ovih paradoksa naglašene su protivrečnosti u shvatanjima kretanja i vremena, ali se ne nastoji da se one otklone.
Paradoksi Ahil i Dihotomija, koje ćemo izložiti našim jezikom, objasniće nam suštinu tih rasuđivanja.
Ahil: Ahil i kornjača kreću se u istom smeru po pravoj. Ahil je brzi od kornjače, ali da bi je stigao, on mora najpre da prođe tačku P , iz koje je kornjača počela kretanje. Kada Ahil stigne u tačku P, kornjača će doći u tačku P1. Ahil ne može da stigne kornjaču dok ne stigne u tačku P1, ali koranjača će da se tada pomeri u tačku P2 itd. Kada se Ahil nađe u P2 kornjača će biti u novoj tački P3 itd. Prema tome, Ahil nikada ne može da stgne kornjaču.
Dihotomija: Predpostavimo da ja hoću da prđem od A do B po pravoj. Da bih stigao u B , treba najpre da pređem polovinu(AB1) rastojanja AB; da bih stigao u B1, moram najpre da stgnem u B2 koje se nalazi na sredini puta AB1 i tako do beskonačnosti, što znači da kretanje nikada ne može početi.
Zenonova rasuđivanja su pokazala da se svaki knačan odsečak može podeliti na beskonačan broj malih odsečaka, od kojih svaki ima konačnu dužinu. Oni su, takođe, pokazali da nailazimo na teškoće u objašnjavanju postavke da se prava sastoji od tačaka. Vrlo je verovatno da ni sam Zenon nije imao predtavu o tome na osnovu matematičkih izvođenja slede njegova izvođenja. Problemi koji dovode do zenonovih paradoksa, stalno su prisutni u filozofskim i teološkim diskusijama. U njima se sadrže problemi koji se odnose na potencijalnu i aktuelnu beskonačnost.Pol Taneri je , pak, smatrao da su zenonova razmišljanja bila prvenstveno usmerena protiv pitagorejske predstave u prostoru kao zbiru tačaka(tačka jedinica površina). Nesumljivo je da su zenanova razmišljanja uticala matematičku misao mnogih genetacija. Njegovi paradoksi se mogu uporediti sa onim koje je koristio 1734. godine episkop Berkli pri ukazivanju na logičke besmislice do kojih dovodi loša formulacija postavki matematičke analize, ali on sam nije predlagao poboljšanje u zasnivanju analize.
Posle otkrića iracionalnosti Zenonova razmošljanja su počela da uznemiruju matematičare. Da li može da postoji matematika kao tačna nauka? Taneri smatra da se može govoriti o pravom logičkom skandalu , o krizi grčke matematike. Ako je baš tako, onda je ta kriza počela krajem peoponezkog rata , koji se završio padom Atine(404. godina pne), pa tu možemo otkriti vezu između krize u matematici i krize društvenog sistema, jer je pad Atine značio smrtnu presudu vledavini robovlasničke demokratije i početak novog perioda dominacije aristokratije-krize koja je bila rešena tek u duhu te nove epohe.

Za taj novi period Grčke isorije karakteristično je da određeni slojevi vladajuće klase postaju sve bogatiji, a istovremeno raste beda i nemaština ,sirotinje. Pripadnici vladajuće klase stiču radom robova sve više sredstava za život. Ta okolnost im je omogućila više slobodnog vremena za bavljenje naukom i umetnošću, a istovremeno je sve više potencirala njihovo neraspoloženje prema fizičkom radu. Ta bespslena gospoda su prezirala rad robova i zanatlija, a duhovni život im se sastojao u bavljenju filozofijom i etikom individue. Na takvim pozicijama su stajali Platon i Aristotel. U Platonovoj Replubici (koja je napisana verovatno oko 360. godine pne)nalazimo najjasnije izržene ideale robovlasničke ideale robovlasničke aristokratije. Stražari u Platonovoj Republici obavezni su da izuče Kvadrivijum, koji se sastoji iz aritmetike, geometrije, astronomije i muzike, da bi mogli shvatiti zahteve vasione.
Takva intelektualna atmosfera (uglavnom u ranom pekaoriodu) bila je povoljna za diskusije o osnovama matematike i za spekulativnu kosmogoniju. Tri velika matematičara toga perioda bili su donekle vezani sa Platonovom akademijom, a to su Arhid, Teetet i Eudoks. Teetetu se pripisuje teorija iracionalnosti, koja je izložena u Desetoj knjizi Euklidovih Elemenata. Eudoksovo ime povezano je sa teorijom odnosa, koju Euklid daje i u svojoj Petoj knjizi, kao i sa tzv. Metodom ekshaustije, koje je omogućila rigorozan tretman površine i zapremine. To znači da je baš Eudoks preodoleo krizu u grčkoj matematici i da su njegove stroge formulacije doprinele da se odredi pravac razvitkagrčke aksiomatike, a u znatnoj meri celokupne grčke matematike.
Eudoksova teorija odnosa značila je kraj aritmetičke matematike pitagorejaca, koja se mogla samo primenjivati samo na samerljivim veličine. To je bila čisto geometrijska teorija, izložena u strogo aksiomatskoj formi. Ona je sve prigovore koji su se odnosili na samerljivost ili nesamerljivost razmatranih veličina učinila izlišnim.
Tipična jeDefinicija V Knjige V Euklidovih Elemenata:
"Kaže se da su veličine u istom odnosu, prva prema drugoj kao treća prema četvrtoj, ako su bilo koji jednakostruki multiplumi prvei treće u isto vreme ili veći ili jednaki , ili manji od bilo kojih multipluma druge i četvrte, svako prema svakom uzeti u odgovarajućem poredku".
Koristeći se našom simbolikom ovu definiciju možemo izraziti ovako: ako iz ma>nb sledi mc>nd, iz ma<nb slbi mc<nd i iz ma=mb sledi mc=nb gde su mi n celi bojevi tada je a:b=c:d. Verovatno je ova definicija nastala iz tzv. Arhimedovog aksioma koji je u Euklidovim Elementima dat u vidu Definicuje IV:
Veličine su u odnosu jedne prema drugoj ako neki multiplum ma koje od njih može biti veća od druge.
Savremena teorije iracionalnog broja, koju su izgradili dedekind i vajerštras skoro bukvalno sledi tok eudoksovih misli ali on otkriva mnogo šire perspektive zbog toga što otkriva mnogo šire perspektive zbog toga što je koristila savremene matematičke metoda.
"Metoda ekstaustije" bio je odgovor platonove škole Zenonu. Ta metoda je obilazila sve zamke koje postavlja beskonačno mala veličina i jednostavno ih uklanjala što je sve probleme u kojima se mogla pojaviti beskonačno mala veličina svodila na probleme koji se rešavaju sredsvima formalne logike. Npr, ako je trebalo dokazati da je zapremina V tetraedra jednaka trećini zapremine P prizme iste osnove i visine, pokazivala je apsurdnost kako predpostavke da je V>⅓P tako predpostavke da je V<⅓P . zbog toga je uveden jedan aksiom koji je ekvivalentan Arihimedovom(ili Eudoksovom) aksiomu, a Arhimed ga ovako formuliše:
Neka su date dve nejdnake veličine , tada će višak jedne od ovih veličina nad drugom , sabran sa sobom izvestan broj puta , premašiti jednu ili drugu veličinu koje se među sobom upoređuju.
Ovo dodavanje samog sebe sebi može se ponoviti koliko se želi puta. U datom primeru rezovanje teče ovako. Predpostavka da je V=A i A>⅓ P dovodi do apsurda ako se tetraedar ″upiše u jednu stepenastu″ piramidu, sastavljenu o n prizmi čije su visine h/n, gde je h visina tetraedra, jel izborom dovljno velkog n može se zaprmina te stepenaste piramida može učiniti manjom od A. Tada je ova zapremina veća od V što je apsurd. Na sličan način se pokazuje apsurdnost prtpostavke da je V<⅓P, i to upisivanjem ovakve piramide u tetraedar. Euklid je na ovaj način dokazao nekoliko stavova , npr teoremu u kojoj se tvrdi da se površina dva kruga odnose kao kvadrati njihovih prečnika.
Ta indirkna metoda , koja je kod grka i u epohi renesanse predstavljla standardnu metodu tačnog dokaza u izračunavanju površina i zapremina , bila je dovoljno stroga i mogla se lako transformisati u dokaz, koji dogovara zahtevima savremene matematike. Veliki nedostatak te metode je što se unapred mora znati rezultet kojeg treba dokazati, tako da je matematičar nejpre morao doći do rezultata manje strogim zahtevom koristeći se probama i nagađanjima.
Postoje nagovestaji da je neka vrsta te metode stvarno primenjivana. Raspolažemo Arhimedovim pismom Eratostenu koje je pronađeno tek 1906 godine, u kojem arhimed opisuje nedovoljno strog, ali konstruktivan nači dolaženja do rezultata. To pismo je poznato pod nazivom Metoda. S. Lurije pretpostavlja da su u tom pismu izraženi pogledi matematičke škole koja je polemisala sa Eudoksovom školom. I ta škola je nastala u periodu krize, a zasnivala se na shvatanjima Demokrita- osnivača atonistike. Po lurijevoj teoriji, Demokritova škola je uvela pojam Geometrijskog atoma. Polazilo se od ptpostavke da se deo prave površ prostora sastoji od velikog , ali konačnog broja nedeljivih atoma. Izračunavanje zapremine tela svodilo se na sabiranje zapremina svih atoma iz kojih se sastoji telo. Ta teorija može izgleda ti besmisleno ako se neuzme u obzir da su se neki matematičari iz vremena pre njutna, naročito Vijet i Keple, u suštini koristile istim tim pojmovima; oni su smatrali da se kružnica sastoji iz veoma velikog broja sićušnih duži.
Prednost atonističke metode nad metodom ekshaustije je u tome što omogućava dolaženje do novih rezultata. U antičko doba bilo je moguće da se vrši izbor izmedju strogih , ali relativno neplodnih metoda i metoda koje su se zasnivale na nesigurnim osnovama ali su bili poldni. Poučno je da su skoro svi klasični autori primenjivali prvu grupu metoda.

Kada je 323 godine Alaksandar Veliki umro u Vavilonu , ceo bliski Istok bio je u grčkim rukama. Aleksandrove vojskovođe podelile su između sebe osvojena područja, tako da su nastale tri imperije: egipat, Mesopotamija i Sirija. Počela je epoha helenizma.
Neposredna posledica Aleksandrovog pohoda bio je brži prodor grčke civilizacije u široke oblasti na Istoku. Hleniziran je Egipat , Mesopotamija i deo Indije. U gradovima, od kojih su mnogi od tih osnovani, vojska i administracija bili su u rukama grka a stanovništvo bilo je izmešano- grčko istočnjačko. Helenizam je činio suštinu gradske civilizacije. Vladari u epohi helenizma negovali su istočnjačke običaje , rešavali istočnjačke prfobleme vlasti, ali su podsticali grčku umetnost, grčku literaturu i grčku nauku.
Tako je grčka matematika bila preneta u novu sredinu. Ona je sačuvala mnoge svoje ranije osobine ali je ostao i uticaj onih zahteva administracije i astronomije koji je postavio Istok. Ta tesna povezanost grčke nauke sa Istokom bila je izuzetno plodonosna, naročito u prvim vekovima. Faktički, čitav stvaralački rad, koji nazivamo Grčka matematika potiče iz relativno kratkog perioda od 359 do 250 godine pne., tj. od Eudoksa do Apolonija. Čak i Eudoksova dostignuća su nam poznata samo tumačenjima koje nalazimo kod Euklida i Arhimeda.Značajno je , takođe, da je helenistička matematika najveći procvat doživela u egiptu Ptolemeja, a ne u Mesopotamiji, mada je tu stara matematika bila na višem nivou.
Moguće je da je to uslovilo centralni položaj Egipta te epohe u mediteranskom svetu. Njeova nova prestonica Aleksandrija, postala je intelektualni i privredni centar helenističkog sveta. Vavilon je životario kao udaljeni centar karavanskih puteva sve dok potpuno nije sišao sa pozornice.Njega je smenio Kteifont Seliukija, nova prestonica seleukidske imperije. Nijdan veliki grčki matematičar nije nikada bio u vezi u sa Vavilonom. U gradovima antiohiji i Pergamu, koji su takođe pripadli seleukidskoj imperiji, nalazile su se značajne škole u kojima se negovala grčka nauka. Međutim, stara vavilonska matematika i astronomija su tek pod seleukidima dostigli svoj najviši nivo i mi tek sada počinjemo da shvatamo koliko je to bitno uticalo na grčku astronomiju. Osim Aleksandra, postojali su idrugi centri matematičkih nauka, u prvom redu Atina i Sirakuza. Atina je postala obrazovni centar, a Sirakuza je dala Arhimeda –velikog grčkog matematičara.

VII

U toj epohi pojavili su se profesionalni naučnici-ljudi koji su čitav svoj život posvetili razvitku nauke i zato su bili bogato nagrađeni.Neki najistaknutiji predstavnici te grupe ljudi živeli su Aleksandriji, gde su Ptolemeji izgradili veliki naučni centar., tzv. Muzeum sa poznatom bibliotekom. Jedan od prvih Aleksandrijskih naučnika bilo je Euklid, koji se ubraja u najuticajnije matematičare svih vremena.
O Euklidovom životu nema nikakvih pouzdanih podataka. Predpostavlja se da je živeo u vrema Ptolemeja I (od 306-283) koje mu je prema predanju rekao da u geometriji nema"carskog puta". Njegovo najznačajnije i najpoznatije delo su trinest knjiga Elemenata(Stoicheia).Euklidu se pripisuju i neki drugi manji radovi, među kojima je tzv. Podatak( Data)koji sadrži to što bismo nazvali primena algebre u geometriji , ali je to sve izloženo strogo geometrijskim jezikom. To su prvi matematički radovi koji su u punom obimu došli do nas. U istoriji Zapadnog sveta Elementi su posle Biblije verovatno knjiga koja je doživela najveći broj izdanja i koja je najvše izučavana. Veliki deo naše školske geometrije pozamljen je i često doslovno prenošen iz prvih šest knjiga Elemenata. Euklidova tradicija još i danas pritiskuje našu elementarnu nastavu. Za profesionalnog matematičara su te knjige pune neodoljivih čari, a njihova logička konstrukcija uticala je na naučno mišljenje možda više od bilo kog drugog dela.
Euklidovo izlaganje sastoji se iz strogo logičkih izvođenja teorema i sistema definicija, postulata i aksioma. U prve četiri knjige razmatra se geometrija u ravni. Polazeći od najjednostavnijih osobina linija i uglova, tu se dolazi do jednakosti trouglova, jednakosti površina, pitagorine teoreme, konstrukciji kvadrata koji je jednak datom prevougaoniku, zlatnog preseka, kruga i previlnih mnouglova. U V knjizi izložena je Eudoksova teorija nesamerljivih veličina u čisto geometrijskom obliku, a u VI knjizi ta teorija je primenjena na sličnost ravnih figura. Tako kasno uvođenje sličnosti predstavlja jednu od najbitnijih razlika između Euklidovog i savremenog izlaganja planimetrije. Geometrijska razmatranja završavaju se X knjigom, koju mnogi smatrau najtežom. U toj knjizi je data geometrijska klasifikacija kvadratnih iracionalnosti i njihovih kvadratnih korena. U poslednje tri knjige izlaže se geometrija u prostoru. Od roljeva, zapremina parlelepipeda , prizama i piramida dolazi se do lopte i do onoga što je po zamisli autora trebalo verovatno da kruniše ceo rad-do ispitivanja pet pravilnih("Platonovih") tela i dokaza da ih ima samo pet.
KnjigeVII-IX posvećene su teoriji brojeva, ali ne tehnici računanja već takvim pitagorejskim pitanjima kao što su deljivost celih brojeva, zbir geometrijske progresije i neke osobine prostih brojeva. Tu nailazimo na"Euklidov algoritam" za određivanje najvećeg zajedničkog delioca datog skupa brojeva, kao i na Euklidovu teoremu o beskonačnom broju prostih brojeva. Naročito interesovanje pobuđuje teorema 27. u VI knjizi , koja sadrži prvi problem maksimuma koji je do nas došao sa dokazom da od svih pravougaonika datog obima najveću površinu ima kvadrat. Peti pastulat I knjige ekvivalentan tzv."aksiomu paralelnosti" , prema kojom se kroz tačku van date prave može povuci jedna i samo jedna prava paralelna datoj pravoj. Pokušaj da se od tog aksioma načini teorema doveli su u XV veku do preispitivanja Euklidove "mudrosti" u celini.
Algebarska Izvođenja kod Euklida data su isključivo u geometrijskom obliku. Izraz oblika √A uvodi se kao stranica kvadrata čija je površina A a proizvod a∙b je površina pravougaonika čije su stranice a i b. Takav način predstavljanja bio je podstaknut Eudoksovom teorijom odnosa , u kojoj su svesno izbegavani numerički odnosi za duži i na taj način se nesamerljivost razmatrala samo geometrijski.Pod "brojevima" su podrazumevani samo celi brojevi i nihovi količnici.
Kakav je cilj Euklid postavio kada je piaso Elemente? Možemo sa dosta sigurnosti predpostavljati da je on hteo istovrremeno u jednom radu da izlože tri velika otkrića iz njegove neposredne prošlosti: Eudoksovu teoriju odnosa , Teetevu teoriju iracionalnosti i teoriju pet pravilnih tela , koja jezauzimala vodeće mesto u Platonovoj kosmologiji. To su bila tri tipična grčka dostignuća.

VIII

Najveći matematičar helenističke epohe i celokupnog Starog sveta bio je Arhimed (287-212) koji je živeo u Sirakuzi,gde je bio savetnik cara Hijerona. On je jedan od malobrojnih antičkih naučnika koje znamo ne samo po imenu. Sačuvali su se i neki podaci o njegovom životu i njegovoj ličnosti: ubijen kada su Rimljani zauzeli Sirakuzu, a u odbrani grada korišćena je njegova tehnička veličina. Njegova sklonost prema praktičnoj primeni znanja izgleda nam veoma neobična ako se uzme u obzirsa kakvim su se prezirom prema tome odnosili njegovi savremenici iz Platonove škole. Međutim, objašnjenje nam nam daje mnogo puta navedeno Plutarhovo saopštenje (u Biografiji Morcela, XVII, 4).
"Mada su mu ta otkrića donela reputaciju nadljudske pronicnjivosti, on se nije spustio tako nisko da bi ostavio bilo kakvo pisano delo o tim pitanjima, već je, smatrajući niskim i nedostojnim radom mehaniku i veštinu ma koje vrste ako im je cilj korist i dobit, sve svoje častoljubive pretenzije zasnivao na onim spekulacijama čija lepota i finoća nisu ukaljane bilo kakvom primesom običnih svakodnevnih potreba."
Takva karakteristika Arhimeda kao matematičara, koji smatra da je praktična primena nauke izvan nauke, odnosno da je to u najboljem slučaju delatnost trećerazrednog značaja za naučnika, veoma je rasprostranjena. Međutim, ona se u suštini zasniva samo na Plutarhovom pisanju o Arhimedu, a Plutarh je mnogo kasnije živeo od Arhimeda (II vek nove ere). Prema istoričaru Polibiju (Ii vek nove ere), Arhimed se proslevio svojim inženjerskim radom, a za Cicerona (I vek pre nove ere) Arhimed je pre svega astronom i arhitekt. Vitruvij (kraj I veka p.n.e.) ubraja Arhimeda u one malobrojne genije koji su bili u stanju da pomoću računa i poznavanja tajni prirode dođu do velikih otkrića u mehanici i gnomonici ...Prvi Arhimedovi radovi su iz mehanike, a u kasnijim matematičkim radovima znatno dolazi do izražaja orijentacija na numeričku trhniku. Arhimeda –teoretičara treba priznati kao veoma izrazitog predstavnika "matematičke fizike" njegove epohe. Izgleda da je potpuno pravilna karakteristika koju je dao I. N. Veselovskij: ako se držimo činjenica, tada je Arhimed svoju naučnu delatnost počeo kao mehaničar i završio je kao mehaničar. U njegovim matematičkim delima mehanika je moćno sredstvo za dolaženje do rezultata, a ti rezultati nisu besplodno visili u vazduhu, nego su primenjivani u stvaranju mehaničkih teorija.
Najznačajniji Arhimedov prilog pripada oblasti koju danas nazivamo integralni račun. To su teoreme o površinama ravnih figura i o zapremini tela. U Merenju kruga on je došao do obrasca za dužinu kružnice koristeći se opisanim i upisanim mnogouglovima. U Arhimedovoj knjizi O sferi i cilindru nalazimo obrazac za površinu sfere (u sledećem obliku: površina sfere je četiri puta veća od površine velikog kruga) i za zapreminu sfere(u sledećem obliku: zapremina sfere iznosi 2/3 zapremine opisanog cilindra). U svojoj knjizi Kvadratura parabole Arhimed je dao obrazac za površinu paraboličnog segmenta (4/3 površine upisanog trougla čija je osnovica ista kao i osnovica segmenta, a visina polazi iz tačke u kojoj je tengenta paralelna sa osnovicom). U knjizi O spiralama nalazimo "Arhimedovu spiralu" i izračunavanje površine, a u knjizi O konoidima i sferoidima date su zapremine nekih tela koja nastaju rotacijom krivih drugoga reda.
Arhimedovo ime povezano je, takođe, sa teremom o gubnjelju tezine tela koja su potopljena u tečnost. Ta teorema se nalazi u originalnost mišljenja, uklopljenja u majstorsku numeričku tehniku i stroge dokaze. Za tu strogost karakterističan je već pomenut "Arhimedov aksiom" i stalno korišćenje metode ekshaustije u dokazivanju rezultata njegovih integgacija. Videli smo da je on do tih rezultata faktički dolazio uglavnom heurističkom metodom ("mereći" beskonačno male veličine), a zatim je te radove objavljivao, pridržavajući se dosledno zahteva strogosti. U Arhimedovim radovima ima veoma mnogo numaričkih izračunavanja, i po tome se razlikuje od mnogih grčkih stvaralaca-matematičara. To se naročito može zapaziti u njegovom "Zadatku o bikovima"-veoma složenom problemu iz oblasti neodređene analize; on se može interpretirati kao zadatak koji se svodi na jednačinu "Pealovog" tipa:
t²-4 729 494 u² = 1,
a rešava se pomoću veoma velikih brojeva. To je samo jedan od mnogih podataka koji ukazuje da Platonova tradicija nije nikada potpuno vladala u helenističkoj matematici.

Treći veliki matematičar helenizma-Apolonije iz Perge (oko 260-oko170 godine p.n.e.), ponovo nas vraća u tokove grčke geometrijske tradicije. Apolonije, koji je, verovatno, predavao u Aleksandriji i Pergi, napisao je traktat (od osam knjiga) o konusnim presecima (O konusima). Sačuvano je sedam knjiga i to tri samo u arapskom prevodu. To je traktat elipsi, paraboli i hiperboli, koje su definisane kao preseci kružnog konusa, a traktat se završava ispitivanjima evoluta konusnih preseka. Nazivi ovih krivih, koje i mi danas koristimo, potiču od Apolonija. Ti nazivi izražavaju jednu od osobina tih krivih,koja se odnosi na površine, a koja se izražava (u našoj simbolici) jednačinama:
y² = px, y² = px ± p/dx²
Reč parabola ovde znači "dodatak", elipsa-"dodatak sa umanjenjem", a hiperbola-"dodatak sa uvećanjem". Apoloniju nije bila poznata naša savremena koordinatna metoda zato što mu nije bio poznat algebarski način označavanja. Međutim, mnogi njegovi rezultati mogu se neposredno zapisati jezikom koordinata, uključujući tu i onu osobinu evoluta koja je izražena njihovim jednačinama u Dekartovim koordinatama. To se isto može reći i o drugim Apolonijevim knjigama koje su se delimično sačuvale. One sadrže "algebarsku" geometriju na geometrijskom jeziku i zato je u njima sadržan isti način obeležavanja. Kod Apolonija prvi put nailazimo na jasno formulisan zahtev da se geometrijske konstrukcije izvode samo šestarom i lenjirom. To znači da to nije bio opšti "grčki" zahtev, kako se ponekad tvrdi.

Matematika se tokom cele svoje istorije ne može odvojiti od astronomije. Potrebe irigacije i poljoprivrede u celini, a donekle i moreplovstva,obezbedile su astronomiji prvo mesto medju naukama na Istoku, kao i medju helenističkim naukama. Tok razvitka astronomije umnogome je određivao i tok razvitka matematike. Astronomija je uglavnom određivala sadržaje numeričke matematike, a ponekad i matematičkih pojmova, tako da je razvitak astronomije zavisio od stepena razvitka matematike. Konstrukcija Sunčevog sistema je takva da se relativno prostim matematičkim metodama mogu dobiti dalekosežni rezultati, ali je ona u to vreme bila dosta komplikovana. Numerička astronomija je veoma napredovala na Istoku u epohi koja je prethodila helenističkoj i to naročito u Mesopotamiji i poznoasirskoj i persijskoj epohi. Za matematičare je kretanje meseca bio jedan od najtežih, ali i najinteresantniji astronomski problem i to kako u stara vremena tako i u XVIII veku. Vavilonski astronomi uložili su mnogo truda u ispitivanje Mesečevog kretanja.
Najstarije nama poznato grčko dostignuće iz oblasti teorijske astronomije je Eudoksov planetni sistem. Taj sistem predstavlja pokušaj da se objasni kretanje planeta (oko Zemlje) pomoću četiri obrtne koncentrične sfere, od kojih je svaka imala zasebnu osu obrtanja, sa krajevima pričvršćenim na jednoj sferi koja je sve to obuhvatala. To je bilo nešto novo i tipično grčko, jer taj sistem predstavlja objašljenje, a ne samo registraciju nebeskih pojava.
Posle Eudoksa javlja se Aristarh Samoski (oko 280.g.p.n.e) - "Kopernik antike" kojem Arhimed pripisuje hipotezu da je centar oko kojeg se obrću planete Sunce, a ne Zemlja. U staro vreme bilo je malo pristalica te hipoteze, mada je uverenje da se Zemlja obrće oko svoje ose bilo veoma rasprostraljeno. Čiljenjica da je heliocentrična hipoteza imala malo uspeha objašljava se prvenstveno autoritetom Hiparha, kojeg često nazivaju najvećim astronomom antike.
Hiparh iz Nikeje vršio je posmatranja između 161. i 126. godine pre nove ere i do nas je doprlo malo podataka o njegovom radu. Glavni izvor podataka o Hiparhovom radu je Ptolemej koji je živeo tri veka kasnije. U velikom Ptolemejevom radu Almagestu mogu se mnogi rezultati pripisati Hiparhu, konkretko: primena ekscentričnih krugova i epicikala u objašljavalju kretanja Sunca, Meseca i planeta, a takođe i otkriće predskazivanja ravnodnevnice. Hiparhu se takođe pripisuje određivanje širine i dužine astronomskom metodom. Hiparhovi radovi su u uskoj vezi sa uspesima vavilonske astronomije, koja se u to vreme nalazila na visokom nivou.

Treći i poslednji period antičkog društva je period vladavine Rima. Rimljani su osvojili sirakuzu 212, Kartanginu 146, Grčku 146, Mesopotamiju 64. i Egipat 30. godine pre nove ere. Sva ta područja koja su Rimljani osvojili na Istoku, uključujući i Grčku, bila su svedena na položaj kolonija kojima je upravljala rimska administracija. Osnovu ekonomskog poretka Rimske Imperije i dalje je činila zemljoradna. Mnogi pripadnaci vladajuće klase pomalo su se bavili umetnošću i naukom, ali pravog stvaralaštva bilo je vrlo malo.
Dok je u Rimskoj Imperiji vladala u izvesnom smislu stabilnost, istočnjačka nauka i dalje je cvetala. Međutim, postepeno se gubila originalnost za te nauke i bilo je sve manje stimulansa koji su pokretali njen razvitak, ali mir, koji je u Rimskoj imperiji trajao vekovima, omogućio je da se neometano neguju tradicionalne teorije. Uporedo sa rimskim mirom, tokom nekoliko vekova postojao je i kineski mir. Pod tim uticajem je u Rimskoj imperiji uvedena podela ugla i časa na šezdeset delova. Postoji i teorija F. Vepkea po kojoj je prodiranje tzv. indijsko-arapskih brojeva u Evropu povezano sa neopitagorejskim školama u kasnijim periodima Rimske Imperije. Moguće je da je to tačno, ali ako su ti brojevi toliko stari, onda je verovatnije da je njihova ekspanzija plod uticaja trgovine, a ne filozofije.
Aleksandrija je i dalje ostala centar antičke tatematike. Bilo je i originalnih istraživanja, ali su kompilacije i komentari sve više postajali osnovni vid naučne delatnosti. Mnogi rezultati antičkih matematičara i astronoma došli su do nas preko radova kompilatora, tako da je veoma teško odvojiti ono što su oni sami otkrili od onoga što su sakupili od drugih.

XII

Jedan od najstarijih aleksandrijskih matematičara iz rimskog perioda bio je Nikomah iz Gerase (oko 100.godine), čiji Aritmetički uvod predstavlja najpotpunije sačuvano delo u kojem je izložena pitagorejska aritmetika. Tu se razmatraju mnoga pitanja koja su razmatrana u Euklidovim aritmetičkim knjigama.No kod Euklida su brojevi predstavljane kao duži, a Nikomah koristi aritmetičke znake, a ako su u pitanju neodređeni brojevi, upotrebljava obične reči. Poligonalni i piramidijalni brojevi Nikomaha imali su uticaja na srednjovekovnu aritmetiku, i to uglavnom preko Boecija.Jedno od najvećih dela toga drugog aksandrijskog perioda jeste Ptolomejev Veliki zbornik, koji je poznatiji pod arapiziranim nazivom Almagest. Almagest je odličan i veoma originalan astronomski rad, mada mnoge ideje u njemu potiču od Hiparha, Kidinua ili nekih drugih vavilonskih astronoma. U njemu je sadržana i trigonometrija sa tablicama tetiva za uglove od 0 do 180, što odgovara tablicama sinusa za uglove 0 do 90 za svakih pola stepena. U Almagestu nalazimo formulu za sinus i konisus zbira i razlike dva ugla, kao i začetke sferne trigonometrije. Teoreme su formulisane na geometrijski način-naše savremeno trigonometrijsko označavanje potiče tek od Ojlera(XVII vek). U Almagestu nalazimo i Ptolomejevu teoremu o četvorouglovima upisanim u kružnicu. U Ptolomejevom Planisferijumu razmatraju se stereografske projekcije, a u njegovoj Geografiji položaji na Zemlji određuju se pomoću dužine i širine, što prdstavlja stare primerke koordinata na sferi. Na stereografskoj projekciji zasnovana je konstrukcija astrolabijuma, tj. sprave koja se koristila za odrđivanje položaja na Zemlji. Astro labijum je bio poznat još u stara vremena i imao je veoa široku primenu sve do XVIII veka, kada je pronađen sekstant.
Nešto stariji od Ptolomeja je Menalaj. Njegova Sferika sadrži geometriju sfere i njoj se razmatraju sferni trouglovi, kojih nema kod Euklida. Tu nalazimo Menelajevu teoremu za trougao u uopštenom obliku i za sferu. U Ptolomejevoj astronomiji ima mnogo izračunavanja pomoću šezdesetičnih razlomaka, dok kod Menelaja trakat geometrijske prirode , i to strogo u duhu Eukldove tradicije.
Verovatno Menlejevoj epohi pripada heron. Poznato je da je on tačno opisao pomračenje meseca 62. godine. Heron je bio enciklopedista- radio je na geometrijskim, numeričkim i mehaničkim temama, a njegova dela su zanimljiva mešavina grčkog i istočnjačkog. U delu Metrika je izveo heronov obrazac za površinu trougla i to na čisto geometrijski način. Sam taj rezultat se, pak, pripisuje Arhimedu.
Heronova formula za zapreminu zarubljene piramide sa kvadratnom osnovom, može se bez mnogo truda, svesti na formulu koja se nalazi u Moskovskom papirusu. Nasuprot tome, odrđivanje zapremina pet pravilnih poliedara, koje nalazimo kod Herona, potpuno je u euklidskom duhu.

XIII

Istočnjački kolorit dolazi još više dolazi do izražaja u Diofantivoj Aritmetici. Sačuvano je samo šest originalnih knjiga, a koliko ih je bilo ukupno, može se samo nagađati. Veoma vešto prikazivanje neodređenih jednačina, na koje se nailazi u Diofantovim knjigama, pokazuje da stara algebra Vavilonije ili indije nije samo egzistirala pod finom naslagom grčke civilizacije, već su je i usavršavali malobrojni stvaroci te epohe Kada i kako se to dešavalo ne znamo, kao što ne znamo ni ko je bio Dofant. Moguće je da je on bio halenizirani Vavilonac. Njegova knjiga je jedan od najinteresantnijih traktata koji je došao do nas iz grčko-rimske prošlosti.
U diofantov zbornik ulaze veoma različiti zadatci, a način njihovog rešavanja je često veoma oštrouman. Diofantoa analiza sastoji se iz nalaženja rešenja neodređenih jednačina oblika
Ax²+Bx+C=y²

Ili sistema tih jednačina. Za diofanta je logično da ga interesuju samo pozitivna racionalana rešenja. Iracionalna rešenja naziva nemogućim i brižljivo bira koeficijentte da bi dobio tražena pozitivna rešenja. Međutim tim jednačinama nalazmo i takve kao što su
x²-26y²=1
x²-30y²=1
koje su danas poznate kao Pelaonove jednačine. Kod Diofanta ima nekoliko teorema iz teorije brojeva. Postoje i teoreme o rezlaganju broja na zbir dva, tri, čeetiri kvadrata.. Kod Diofanta prvi put nailazimo na sistematsko korišćenje algebarskih simbola.On koristi posebne znake za nepoznatu, za minus i za recipročnu vrednost.Ti znaci su jošuvek više skraćenice, a ne algebarski simboli u našem smislu. Za svaki stepen nepoznate postojao je poseban simbol. Nema sumlje da je tu reč ne samo o aritmetičkim pitanjima potpuno algebarske prirode, kao što je bio slučaj u Vaviloniji, nego i o sasvim dobro razrađenom algebarskom označavanju, koje je veoma mnogo doprinelo rešavanju zadateka neuporedivo komplikovanih u poređenju sa onima koji su ranije postavljeni.

XIV

Poslednji od velikih aleksandrijskih matematičkih traktata je Pap(kraj trećeg veka). Njegov Zbornik je sličan udžbeniku gračke geometrije, koji sadrži istorijske informacije, kao i poboljšanja i modifikacije nekih teorema i dokaza. Bolje je da se ovaj traktat čita uporedo sa originalnim radovima, a ne samostalno.
Mnogi rezultati starih autora su nam poznati samo u onom obliku koji je sačuvan kod Papa , na primer zadatci o kvadraturi kruga , udvostručenju kuba i trisekciji ugla. Interesantna je glava o izoperimetrijskim figurama, sa stavom u kojem se tvrdi da krug ima veću površinu od ma kog prvilnog mnogougla koji ima isti obim kao krug. Arhimedova polupravilna tela su postala poznata zahvaljujući Papu. Kao i Diofantova Aritmetika, Papov Zbornik podstiče na razmišljanje, a problemi koje je on tretirao nadahnjivali su mnoge istraživače kasnijih epoha.
Ačeksandrijska škola je postepeno nestajala uporedo sa propadanjem antičkog društva. Ona je bila kompaktno uporište mnogobožštva u borbi protiv hrišćanstba, koje se u to vreme širilo. Neki matematičari koji su pripadali toj školi ušli su i u istoriju antičke filozofije.Prokl (410-485), čiji je Komentar prve knjige Euklidovih Elemenata jedan od naših glavnih izvora istorije grčke matematike, , bio je na čelu neoplatonovske škole u Atini. Predstavnik te škole u aleksandriji bila je Hipatija, koja je pisala komentare klaasika matematike. Hipatiju su 415. godine ubile pristalice sv. Ćirila. Čarls Kingeli opisao je njenu sudbinu u svom romanu kroz ličnost glavne junakinje. Te filozofske škole , zajedno sa svojim komentatorima, tokom vekova su naizmenično bile u procvatu i u opadanju. Imperator Justinijan je zatvorio Akademiju u Atini 526.godine kao mnogobbožačku, a istovremeno su nastale škole u drugim mestima, kao u konnstantinopolju u Džudi-Šapuru. U Konstantinopolju su sačuvane mnoge zbirke starih rukopisa i komentara, tako da je sećanje na grčku nauku i filozofiju nastavilo da živi na grčkom jeziku. Aleksandriju su 630. godine zauzeli Arapi i gornji sloj grčke civilizacije u Egiptu bio je zamenjen arapskim. Nepostoje dokayi za tvrđenje da su Aleksandrijsku biblioteku uništili arapi, jer se može sumljati i u to da li je ona još u to vreme i postojala. Faktički, arapsko osvajanje nije u suštini izmenilo karakter matematičkih istraživanja u Egiptu. Može se govoriti o nekoj dekadenciji, ali kada budemo kasnije ponovo čuli o egipatskoj matematici, učiniće nam se da je ona sledila grčko-istočnjačke tradicije.

Grčka matematika je prvila razliku između aritmetike ili nauke o brojevima i logistici, tj, praktičnog računa. Termin aritmos označavao je samo prirodan broj- količinu sastavljenu od jedinica, to znači, takodje , da se jedan nije smatrao brojem. Naš pojam realnog broja bio imje nepoznat. Zbog toga duž nije mogla imati uvek dužinu. Umesto naših operacija realnim brojevima koristili su geometrijska rasuđivanja. Kada je Euklid trebalo da formuliše površnu trougla kao polovinu proizvoda osnovice i visine, on je govorio da je površina trougla jednaka polovini površine paralelograma koji ima istu osnovicu kao trougao i leži između paralelnih stranica paralelograma. Pitagorina teorema istrađivala je zavisnost između površina tri kvadrata, a ne između dužina tri stranice. U Euklidovim Elementima nalazi se teorija kvadratnih jednačina, ali se ona izlaže pomoću površina. Pošto su koreni predstavljeni dužima , koje su određivane određenim konstrukcijama, može se utvrditi da su razmatrani samo pozitivni koreni. U Elementima se ne zahteva da svakoj duži odgovara numerička vrednost. Takva shavatanja duži i brojeva uklapaju se u zamišljeni sistem, koji je rezultat pobede platonovskih ideja među onim pripadnicima vladajuće klase Grčke koji su se interesovali za matematiku. Nasuprot tome, istočnjačka shvatanja tog istog vremena o algebri i geometriji nisu postavljala nikakva ograničenja u vezi sa pojmom broja. Može se predpostaviti da je pitagorina teoremakod Vavilonaa izražavala numeričku zavisnost između dužina stranica, i baš takvu matematiku su upoznali jonski naučnici.
Obična numerička matematika, poznata pod nazivom logistika, živela je tokom celog perioda grčke istorije. Euklid je nju odbacio, ali su je Arhimed i Heron sasvim slobodno koristili. Njenu osnovu činio je brojni sistem, koji se vremenom menjao. Rani grčki brojni sistem bio je desetični i aditivan, kao i egipatski i rimski. U vreme aleksandrijske epohe, amožda i ranije, pojavio se način zapisivanja brojeva, koji su tokom petnaest vekova koristili ne samo naučnici već i trgovci i činovnici. Znaci grčkog alfabeta postupno su primenjivani najpre za označavanje naših simbola 1,2,...,9 zatim desetica- od 10 zaključno sa 90, i njzad stotina- od 100 do 900(α=1,β=2...). Na 24 slova grčkog alfabeta dodata su još tri arhaična slova da bi se dobilo potrebnih 27 znakova. U takvom sistemu ma koji broj manji od 1000 mogao se zapisati sa najviše tri znaka. Brojevi veći od 1000beleženi su pomoću prostog proširenja tog sistema. Njime se koriste u svim sačuvanim radovima aArhimed, Heron i svi ostali klasični autori. Postoje arheološki podatci koji pokazuju da se taj sistem predavao u školama. To je bio desetični nepozicioni sisem, jer je i ιδ i δι označavalo uvek samo 14. Odsustvo pozicionosti i upotreba velikog broja znakova(27) ponekad se smatra dokazom nesavršenosti tog sistema. No lakoća sa kojom su taj sistem koristili stari matematičari, kao i činjenica da su ga grčki trgovci primenjivali u veoma komplikovanim računima u isočnjačkoj Rimskoj Imperiji sve do njene propasti 1453.godine, ukazuju, verovatno, i na prisutnost izvesnih preimućstva tog sistema. Ako izvršimo eksperiment, uverićemo se da se u tom sistemu četiri osnovne računarske operacije mogu dosta lako izvoditi ako se dobro poznaju simboli. I operacije sa razlomcima se u takvom sistemu označavanja lako izvode ali Grci nisu bili dosledni u pogledu označavanja razlomaka, pošto kod njih nije bilo jedinstvanog sistema za označavanje razlomaka. Oni su se koristili egipatskim osnovnim razlomcima, vallonskim šezdesetičnim razlomcima, kao i njihovim načinom zapisivanja razlomaka, koji dosta podseća na naš. Destični razlomci nisu bili otkriveni. Ta značajna tekovina u Evropi se pojavila u epohi kasne renesanse, kada se numerički aparat veoma usavršio i dostigao nivo nakakvom nije bio nikada ranije. Pa čak i u tim uslovima desetični razlomci u mnogim školama nisu bili uvedeni sve do XVIII i XIX veka.
Dokazano je da je alfabetni brojni sistem štetno uticao na ravitak grčke algebre, pošto je upotreba slova za označavanje određenih brojeva ometala primenu svova za obeležavanje opštih brojeva, kako se to čini u našoj algebri. Treba odbaciti to formalno objašnjenje odsustva algebre kod Graka sve do Diofanta, nasuprot tome, treba visoko oceniti značaj takvog načina označavanja. Da su se klasični autori interesovali za algebru, oni bi izgradili odgovarajuću simboliku, kao što je to u stvari i počeo da radi Diofant.
Problem grčke algebre može se razjasniti samo posle studioznog izučabanja veza grčke matematike i vavilonske algebre, i to u sklopu opštih veza koje su postjae između Grčke i Vavilonije.

LITERATURA:

„Kratak pregled istorije matematike“- Dirik J. Strojk, Beograd, 1991
Internet

PROČITAJ / PREUZMI I DRUGE SEMINARSKE RADOVE IZ OBLASTI:

preuzmi seminarski rad u wordu » » »

Besplatni Seminarski Radovi