Gotfrid Vilhem Lajbnic

Biografija

Gotfrid Vilhem Lajbnic (Gottfried Leibniz,1646-1716) bio je Nemac, slovenskog porekla, od Lužičkih Srba. Kao predvodnik u naprednom intelektualnom i naučnom mišljenju, Lajbnic je zasenio nemačke prosvetitelje. Mada su njegove matematičke teorije poštovane od strane savremenika, sve do XIX i XX veka nije spoznat njihov značaj.
Može se reći da je Lajbnic živeo nekoliko života. Kao diplomata, istoričar, filozof i matematičar on je učinio na svakom području dovoljno za jedan radni život.Rodio se u Lajpcigu (Leipzig) 1.07.1646 i živeo je sedamdeset godina, umro je u Hanoveru 14.11.1716. Otac mu je bio profesor moralne filozofije i poticao je iz ugledne porodice koja je kroz tri generacije služila saksonsku vladu. Tako su Lajbnicove najranije godine prošle u atmosferi škole pomešane sa politikom.
U šestoj godini izgubio je oca, ali je pre toga od njega nasledio ljubav za istoriju. Iako je pohađao školu u Lajpcigu, uglavnom je bio samouk. Latinski jezik je počeo da uči u osmoj godini, a u dvanaestoj je dovoljno znao taj jezik da je mogao pisati stihove na latinskom.Sa latinskog je prešao na grčki koji je takođe uglavnom sam naučio.
U petnaestoj godini Lajbnic se upisao na Lajpciški univerzitet kao student prava. Međutim, tokom prve dve godine studija on je mnogo čitao i filozofiju i prvi put je postao svestan novog sveta koji su otkrili moderni filozofi Kepler, Galilej i Dekart.Uvidevši da ovu najnoviju filozofiju može razumeti samo onaj ko poznaje matematiku, Lajbnic je u leto 1663. god. prešao na Jenski univerzitet, gde sluša matematička predavanja Vegela (Erhard Weigel).Vrativši se u Lajpcig, potpuno se posvetio pravu.Godine 1666. je bio potpuno spreman za titulu doktora prava, ali je Lajpciško sveučilište odbilo njegov doktorat zbog ,,njegove mladosti”.
Razočaran napušta svoj rodni grad i odlazi u Nirnberg, gde 5.11.1666 na tamošnjem univerzitetu dobija ne samo doktorsku titulu već i mesto profesora.Ali on odbija tu ponudu jer ,,ima sasvim druge ambicije”. Njegov pravi matematički razvoj počinje kada mu je bilo 26. god. pod uticajem Hajgensa (Huygens) koga je sreo u Parizu na jednom od diplomatskih putovanja.U Parizu ostaje godinu dana gde mu Hajgens daje časove matematike, a potom odlazi u London gde je bio izaslanik izbornog kneza. Hajgens je Lajbnicu poklonio kopiju svog matematičkog rada o klatnu.
Posle smrti izbornog kneza 1673. godine Lajbnic prelazi u službu vojvode od Brunswick-a i preostalih 40. godina je služio tri gazde kao bibliotekar, istoričar i savetnik porodice.

Stvaralaštvo

,,Jack svih zanata, a majstor nijednog”-poslovica je koja ima svoj izuzetak, a Lajbnic je jedan od njih.Matematika je samo jedna od mnogih oblasti u kojima je Lajbnic pokazao izvanrednu genijalnost: pravo, vera, diplomatija, istorija, književnist, logika, metafizika i filozofija.
Osnovna pokretačka snaga u njegovom životu bilo je traženje univerzalne metode za ovladavanje naukom, dolaženje do novih pronalazaka i shvatanja suštine jedinstva Vasione. Univerzalna nauka (Scientia univerzalis), koju je on pokušao da stvori, imala je više aspekata, a neki od njih doveli su Lajbnica do matematičkih otkrića. Njegova traženja ,, opštih karakteristika'' dovela su ga do permutacija, kombinacija i simboličke logike. Traženja ,,univerzalnog jezika'' u kojem bi se sve greške u mišljenju ispoljavale kao greške izračunavanja dovela su ga ne samo do simboličke logike već i do mnogih novina u matematičkim označavanjima. Lajbnic je jedan od najplodnijih pronalazača matematičkih simbola. Bilo je veoma naučnika koji su tako dobro shvatali jedinstvo forme i sadržaja. Ako se ima u vidu filozofska pozadina, onda se može razumeti kako je Lajbnic pronašao analizu. To je bio rezultat njegovih traženja ,,univerzalnog jezika'', konkretno jezika koji će izražavati promene i kretanje.
Naše oznake u analizi kao i nazivi ''diferencijalni račun'' i ''integralni račun'' potiču od Lajbnica. Zahvaljujući njegovom uticaju, počeli su se upotrebljavati znači ''='' za jednakost i tačka za množenje . Od Lajbnica potiču i termini funkcija i koordinate, kao i interesantan termin oskulirajući (oni koji se ljube)

Redovi

nazvani su njegovim imenom, mada ih nije on prvi otkrio. (То је najverovatnije učinio škotski matematičar Džejms Gregori,koji je pokušao takode da dokaže nemogućnost kvadrature kruga pomoću šestara i lenjira).
Lajbnic je takođe pokušao da izgradi mašinu koja misli u obliku računske mašine. Bles Paskal je 1642. godine učinio prvi korak ka istinski automatskoj mašini. On je konstruisao mašinu za sabiranje i oduzimanje u decimalnoj logici. Mašina se sastojala od niza točkića međusobno povezanih zupčanicima. Kada je prvi točkić - za jedinice - okrenut deset zubaca na svoju poziciju nula, drugi točkić se okreće za jedan zubac na broj 1, tako da su dva točkića pokazivala broj 10. Kada je točak za desetice dostigao 0, treći točak se okrenuo za jedan zubac napred pokazujući 100, i tako dalje. Godine 1674. Lajbnic je učinio korak dalje i rasporedio točkiće i zupčanike tako da su se množenje i deljenje mogli vršiti isto tako automatski i lako kao i sabiranje i oduzimanje.

Binarni sistem

Lajbnic je smislio takozvani binarni brojni sistem, koji koristi dve cifre umesto deset, ali inače u svemu sledi principe decimalnog sistema. Dve cifre su 0 i 1.
Ideju za sopstveni binarni sistem Lajbnic prepoznaje u dijagramu Sao Junga, velikog majstora Sung konfučijanizma. Binarna notacija izražava sve brojeve u smislu stepena broja dva. Tako je broj 1 = 20, broj 2 = 21, broj 3 = 21 + 20 , broj 4 = 22 i tako dalje. Sao Jungov kvadratni raspored heksagrama u Lajbnicovoj binarnoj notaciji ima sledeći oblik:

U decimalnoj notaciji to je niz prirodnih brojeva od 0-63:

Lajbnicov binarni sistem je bio od velikog značaja jer se pokazalo da je moguće realizovati digitalni računar zasnovan na ovom sistemu. Lajbnicov naslednik bio je Džordz Bul ( 1815 - 1864 ), engleski matematičar i logičar. Pokušao je da matematički ozakoni logičke procese. Posledica toga je zasnivanje Bulove algebre, matematičke logike koja uvodi u skup čiji elementi mogu biti samo vrednosti 0 i 1 i tri osnovne operacije: AND ( množenje ), OR ( sabiranje ) i NOT ( negiranje ), za koje važe zakoni komutacije, asocijacije i distribucije.

Diferencijalni račun

Lajbnic je svoj novi račun pronašao 1675. godine i to pod neposrednim uticajem Hajgensa, a i tokom izučavanja Dekarta i Paskala.Naročito ga je podsticalo to sto je znao da je Njutn ovladao sličnom metodom. Njutnov prilaz bio je u osnovi kinematički, a Lajbnicov prilaz je geometrijski. On je mislio u terminima "каrакtеrističnоg trоuglа" (dx, dy, ds), koji se pojavljivao u nekim drugim radovima, konkretno kod Paskala. Analiza, na način kako ju je postavio Lajbnic, prvi put se pojavila 1684. godine u matematičkom časopisu Acta Eruditorum, koji je imao šest strana. Taj časopis je osnovao Lajbnic 1682. godine. Karakterističan je naslov tog članka: Nova metoda za maksimume i minimume, kao i za tangente, gde razlomljene i iracionalne količine nisu prepreka, i naročiti vid izračunavanja toga (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus quae nec fractas nec irrationales quantitates, et singulare pro illis calculi genus).
Način izlaganja je težak i nejasan, ali članak sadrži naše simbole dx i dy i pravila diferenciranja, uključujući d(uv)=udv+vdu, diferenciranja razlomaka, kao i uslove dy=0 za екstrеmnе vrednosti i d²y=0 zа prevojne tačkе.
Posle tog članka 1686. godine pojavio se drugi članak, koji je sadržao pravila integralnog računa i simbol integrala (članak je bio napisan u obliku recenzije). Jednačina cikloide bila je data u obliku

Pojavom tih članaka počeo je izuzetno plodan period matematičke delatnosti. Posle 1687. godine Lajbnicu su se pridruzila braća Bernuli, koji su oduševljeno prihvatali njegove metode. Još u periodu pre 1700. godine njih trojica su otkrili značajan deo našeg osnovnog kursa analize i nekoliko značajnih delova u komplikovanijim oblastima, uključujući tu i rešavanje nekoliko zadataka varijacionog računa. U 1696. godini pojavio se prvi udžbenik iz oblasti analize. Njega je napisao markiz Lopital, učenik Johana Bernulija. Lopital je u Analizi beskonačno malih(Analyse des infiniment petitis) objavio predavanja svoga učitelja iz diferencijalnog računa. U toj knjizi nalazimo tzv.''Lopitalovo pravilo'' za nalaženje granične vrednosti razlomka kada oba člana teže nuli.

Infinitezimalni račun

Može se slobodno tvrditi, da nema teorije koja je odmah posle prve svoje pojave učinila takav i toliki pomak u matematici i ostalim naukama kao što je to bio slučaj sa Lajbnicovim infinitezimalnim računom (razlažući veličine u proučavanim pojavama na njene beskonačno mnoge i beskonačno male sastojke, rastvarajući ih tako na njihove atome, on upoznaje njihovu unutrašnjost, njihov sklop i zakone, kojima se one pokoravaju).
Principi, na kojima je Lajbnic podigao svoj novi račun, jesu: Beskonačno male količine ,mogu se u infinitezimalnim računima zanemarivati naspram konačnih veličina, a tako isto i beskonačno male količine viših redova naspram beskonačno malih količina nižih redova.
Na osnovu tih principa Lajbnic je sebi dopuštao, da krive linije smatra kao poligone sa beskonačno velikim brojem beskonačno malih pljosni, promenjiva kretanja kao beskonačni niz jednakih kretanja, izvršenih u uzastopnim beskonačno kratkim razmacima vremena itd.
U Lajbnicovom infinitezimalnom računu izgleda kao da se čine greške a medutim zna se, da rezultati računa ispadaju tačni. Ovo na prvi mah izgleda zaista čudno, jer logično razmišljanje dovodi do zaključka da tačnog rezultata može biti samo tamo gde se za vreme računanja nije ništa proizvoljno ni dodalo ni oduzelo, tj. gde se za vreme računanja nije učinila nikakva pogreška. Prema tome ne treba se čuditi, sto je Lajbnicov infinitezimalni račun odmah posle prve pojave postao predmet najžešćih napada od strane mnogih naučnika.
Dok su se Lajbnicovi sledbenici starali, da principe na kojima se njegova metoda zasnivala, sto bolje rasvetle i opravdaju, protivnici te metode latili su se Njutnove metode granica. Kod te metode granica mesto Lajbnicovih beskonačno malih količina uvlače se u račun kao pomoćne količine druge količine.
To su granice, kojima teže količnici ili razmere naraštaja prvobitnih količina, koje se u proučavanoj pojavi javljaju. Kako se kod ove metode ima posla ne sa samim naraštajima količina, nego sa granicama njenih razmera, to je onda jasno, da se naraštaj svake količine može i sme smeniti ma kakvom drugom prostijom količinom, ako samo količnik izmedu toga naraštaja i količine kojom se on smenjuje, teži jedinici.
Od prvog postanka Lajbnicove metode pa sve do danas njena je vladavina u skoro svim primenama bila neograničena, apsolutna, isključiva, i zahvaljujući njoj su sve opštije teorije u geometriji, mehanici itd., dostigle onaj visoki stupanj savršenstva i lepote, na kome se sada nalaze. Sva naprezanja i usiljavanja, da se ona svrgne sa svog uzvišenog prestola, bila su uzaludna i učinila su samo i jedino to, da se još bolje oseti njena prava moć. Treba spomenuti još jednu odliku Lajbnicove infinitezimalne metode, a to je savršena i potpuna opštost infinitezimalnog zakona. Tako na primer pomoću jednog istog obrasca nalazimo dirke za sve linije, pomoću drugog njene normale, pomoću trećeg njene površine itd.
Koristeći se tesnom vezom između pojmova beskonačno malog i granice, noviji matematičari su uspeli da odrede do tada nejasni pojam beskonačno maloga.Na osnovu tih principa smene granice zbirova i razmera beskonačno malih količina ostaju iste i posto se članovi tih zbirova i tih razmera smene drugim beskonačno malim količinama, ako je usput ispunjen zahtev, da je razlika izmedu prvih količina i onih, kojima se one smenjuju, naspram njih beskonačno mala. I odatle sledi da se u infinitezimalnom računu u toku rada smeju zanemariti beskonačno male količine naspram konačnih.

Filozofija

Lajbnic je primer razložnog i umerenog filozofa čije učenje nastoji da pomiri suprostavljena stanovišta. Ipak je baš njegova ideja o najboljem od svih svetova doživela oštru kritiku u Volterovom delu Kandid . Lajbnicova filozofija se ne može objasniti bez pozivanja na drugi pravac u modernoj filozofiji - empirizam, koji se razvijao paralelno sa racionalizmom. Iako ćemo lako uočiti njihove razlike - recimo, racionalizam veruje da postoje urođene ideje, empirizam ne - ovi pravci dele isti duh vremena i iste osnovne principe. I racionalisti i empiristi pokušavaju da opišu čoveka, smeste ga u prirodni svet, i reše stare probleme na, da tako kažemo, demokratskiji način. Sada kriterijumi istine moraju biti takvi da su u principu dostupni svima.

Citati: Monadologija

1. Monada, o kojoj ćemo ovde govoriti, nije ništa drugo do prosta supstancija koja ulazi u sastave (les composes), prosta, što će reći bez delova.
2. A treba da ima tu prostih supstancija, pošto ima sastava; jer sastav nije ništa drugo do skup ili algregatum prostih.
3. A onde gde nema delova, nema ni protežnosti, ni oblika, ni moguće deljivosti. Ove monade su istinski atomi prirode, elementi stvari.
4. Nema tu ni bojazni od raspadanja, i nema pojmljiva načina na koji bi prosta supstanca mogla prirodno uginuti.
5. Sa istog razloga, nikakva načina nema na koji bi neka prosta supstancija mogla prirodno uginuti.
6. Tako se može reći da Monade ne bi mogle početi, ni skončati drukčije nego odjednom tj. ne bi mogle početi drugačije do stvaranjem , i skončati drugačije do uništenjem, dok ono što je sastavljeno nastaje iz delova i raspada se u delove.
7. Takođe nema načina na koji bi se objasnilo kako bi se monada mogla podrugojačiti ili promenuti u svojoj unutrašnjosti dejstvom kakvog drugog stvorenja, pošto se u njoj ne bi moglo ništa pomeriti, niti se u njoj može pojmiti kakvo unutrašnje kretanje koje bi se moglo tu unutra izazvati, upravljati, povećati ili smanjiti, kao što je to moguće u sastavima, gde postoje promene među delovima. Monade nemaju prozora, kroz koje bi moglo nešto u njih ući ili iz njih izaći.
31. Naša umovanja počivaju na dva velika principa, na principu protivrečnosti, po kojem sudimo da je lažno ono što u sebi protivrečnost nosi i da je istinito ono što se protivstavlja i protivreči lažnom.
32. I princip dovoljnog razloga, po kojem smatramo da se nijedna činjenica ne bi mogla naći istinitom ili postojećom, niti bi se mogao naći jedan istinski iskaz a da u njima ne bude dovoljnog razloga zašto je to tako a ne drugačije. Iako nam ti razlozi najčešće nikako ne mogu poznati.
33. Ima dve vrste istina, istine Umovanja (veritas de Raisonnement) i istine činjenica (veritas de Fait). Istine umovanja nužne su i protivstav im je nemoguć, a istine činjenica su kontigentne (contigentes) i protivstav im je moguć. Kad je neka istina nužna, razlog joj se analizom može naći, njenim razlučivanjem na prostije ideje i istine, sve dok se ne dođe do prvobitnih.

Literaturа:

-Lajbnicova infinitezimalna metoda-Dimitrije Nesic, Аrhimedes, Beograd 1996

- Kratak pregled istorije matematike-Dirk J. Strojk, BGZ, Beograd 1969

-Lajbnic i opste dobro- Radmila Sajkovic, Prosvetа, Beograd 1975

- http://org/math /srpski /ching /ching.html, Milan. Milanovic

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi