OSTALI SEMINARSKI RADOVI
IZ MATEMATIKE: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ŠTA JE MATEMATIKA?
Šta je matematika? Kad biste ovo pitanje postavili prvoj osobi na koju naiđete, odgovor bi najverovatnije glasio: ,,Matematika proučava brojeve." Ako biste insistirali da vaš sagovornik bude određeniji, možda biste izmamili objašnjenje da je matematika „nauka o brojevima". Dalje od ovoga ne biste stigli, iako to nije odgovarajući opis matematike. Prevaziđen je već 2500 godina! Odgovor na pitanje „Šta je matematika?" menjao se nekoliko puta od tada. Za mnoge ljude matematika je operisanje s brojevima. Može se reći da postoji još mnogo „mitova“. Na primer:
• Matematičari imaju glavu za brojeve. ( Neki imaju, neki ne. )
• Matematičari vole da sabiraju duge kolone brojeva. ( Ovo sigurno niko ne voli. )
• Matematičari lako saldiraju svoje čekovne knjižice
• Matematičari uživaju u istovremenom rešavanju deset linearnih jednačina s deset nepoznatih u sebi. ( Neko ih npr. voli kao srednjoškolac)
• Svi studenti matematike postanu profesori matematike il računovođe kad diplomiraju. ( Neki postanu, al mnogi rade nešto drugo. )
• Matematičari nisu kreativni. ( Ako verujete u ovo , sigurno ne razumete šta je matematika. )
• Ne postoji lepota u matemetici. ( Ovo je besmislica! )
• Matematika je predvidiva. Podrazumeva praćenje preciznih pravila. ( Kao i muzika, drama, vajarstvo, slikarstvo, pisanje romana i fudbal? )
• U matematici uvek postoji pravi odgovor. ( I nalazi se na kraju knjige. )Svakome ko razume šta je matematika jasno je da su gore navedene tvrdnje netačne i da njihovo pobijanje nije ni potrebno.
Životnjska priroda
Najbolja kratka definicija matematike glasi : Matematika je nauka o pravilima. Ova definicija prvi put se pojavila kao naslov jednog članka u časopisu „Sajens“( Science ) koji je 1988. godine napisao matematičar Lin Stin ( Lynn Steen ). Stin priznaje da je nije on smislio. Najstariji pisani izvor definicije matematike nalazi se u knjizi „ Preludijum za matematiku“ (Prelude to Mathematics), V. V. Sojera (W. W. Sawyer), iz 1955. godine:
„ Matematika je klasifikacija i proučavanje svih mogućih pravila.” Reč pravilo ovde je upotrebljena na način s kojim se neće naravno mnogi složiti. Treba je razumeti u veoma širokom smislu, tako da obuhvati gotovo svaku vrstu pravilnosti koju um može da uoči. Život, posebno intelektualni život, moguć je samo zato što u svetu postoje određene pravilnosti. Ptica uočava crne i žute pruge na osi; čovek uočava da sejanje semena izaziva rast biljke. U svakom slučaju možemo reći da je um svestan pravilnosti.
Endru Glison ( Andrew Gleason ) sa Harvardskog univerziteta dao je sličnu definiciju matematike. U članku koji je objavljen u Biltenu Američke akademije nauke i umetnosti, oktobra 1984, napisao je:
„Matematika je nauka o redu“. Ovde se misli na red zakonitosti i pravilnosti. Cilj matematike jeste da prepozna i opiše izvore reda, vrste reda i veze između njih.
Uticajnost fraze „ nauka o pravlima “najvećim delom dolazi od njene sažetosti. Ali ponekad sažetost može dovesti i do pogrešnog razumevanja. U ovom slučaju reč „pravilo“ zahteva dodatno objašnjenje. Ona u svakom slučaju nije ograničen ana vidljive pravilnosti, kao što su šare na tapetama ili pločicama za kupatilo, iako se i jedne i druge mogu matematički proučavati. Malo opširnija definicija glasila bi: „ Matematika je nauka o redu, pravilima, strukturi i logičkim vezama. “Ali, s obzirom na to da ono što matematičari u ovom kontekstu vezuju za reč „ pravilo “ obuhvata sva značenja te reči, kraća verzija dovoljno govori (samo pod uslovom da se razume reč „pravilo“).
Pravilnosti i odnosi koje proučavaju matematičari nalaze se svuda u prirodi: simetrične šare n acvetovima, često komplikovani oblici čvorova, orbite koje opisuju planete tokom kretanja , šare na leopardovom krznu, izborna raspodela stanovništva , pravila koju pružaju slučajni ishodi u bacanju kockica ili ruletu, odnosi između reči koje čine rečenicu, zvukovni šabloni koje prepoznajemo kao muziku. Ponekad su pravila numerička i mogu se opisti pomoću aritmetike – izborna raspodela , na primer. Ali, često nisu numerička - kao što je slučaj sa oblicima čvorova i simetričnošću šarana cvetovima, koji nemaju mnogo veze sa brojevima.
Pošto proučava tako tako apstraktne pravilnosti, matematika nam često dozvoljava da uvidimo – a možda i iskoristimo – sličnosti između dve pojave koje su na prvi pogled potpuno različite. Stoga o mtematici možemo razmišljati kao o pojmovnim naočarima koje nam omogućavaju da vidimo ono što je inače nevidljivo – kao o nekoj vrsti mentalnog ekvivalenta rendgena u fizici ili vojničkih naočara za noćno osmatranje. Uz pomoć matematike možemo nevidljivo učiniti vidljivim . Evo nekoliko primera kako matematika nevidljivo čini vidljivim.
Bez matematike nikako ne biste mogli da razumete šta održava džambo - džet u vazduhu. Kao što je svima poznato, veliki metalni predmeti ne zadržavaju se iznad zemlje, ako ih nešto ne podupire. Ali, kad pogledate u avion koji vam leti nad glavom, videćete da ga niko ne drži. Da biste „videli“ šta drži avion u vazduhu , potrebna je matematika – u ovom slučaju jednačin akoju je otkrio matematičar Danijel Bernuli ( Daniel Bernoulli ), početkom osamnaestog veka.
Pitamo se šta je uzrok tome što svi predmeti, osim aviona, pdaju na zemlju čim ih ispustimo? „Gravitacija“, odgovorićemo. Ali, tako smo samo imenovali pojavu. I dalje je nevidljiva. Isto tako bismo je mogli nazvati i magijom. Njutnove jednačine kretanja i mehanike, u sedamnaestom veku, omogućile su nam da „ vidimo “ nevidljive sile zbog kojih Zemlja rotira oko Sunca i zbog kojih jabuka pada s drveta na zemlju.
I u Bernulijevoj jednačini i u Njutnovim jednačinama koristi se račun. Račun funkcioniše tako što beskrajno male veličine čini vidljivim. Ovo je još jedan primer pretvaranja nevidljivog u vidljivo.
Evo još jednog primera. Dve hiljade godina pre nego što smo bili u mogućnosti da pošaljemo svemirski brod u svemir i fotografišemo svoju planetu, grčki matematičar Eratosten koristio je matematiku da pokaže da je Zemlja okrugla. U stvari, izračunao je njen prečnik, a otuda, sa znatnom tačnošću, i njenu zakrivljenost.
Fizičari koriste matematiku u pokušajima da predvide konačnu sudbinu vasione. U ovom slučaju, ono nevidljivo, što matematika čini vidljivim, jeste događaj koji se još nije odigrao. Matematika je već korišćena za gledanje u daleku prošlost, ona je učinila vidljivim inače nevidljive trenutke kad je, u onome što nazivamo velikim praskom, stvorena vasiona.
Ako se pak vratimo u sadašnjicu, kako „ vidite “šta prenosi slike i zvuke fudbalske utakmice do televizijskog ekrana na drugom kraju grada? Jedan odgovor je da se slike i zvuk prenose radio-talasima – vrstom elektomagnetnog zračenja. Ali, isto kao što je bio slučaj sa gravitacijom, ovim je pojava samo imenovana, što nam ne pomaže da je „vidimo“. Da bismo „videli“ inače nevidljive radio-talase, potrbne su nam Maksvelove jednačine, otkrivene u prošlom veku. Navedimo nekoliko pravila do kojih je došao čovek:
• Aristotel je koristio matematiku u pokušajima da „vidi“nevidljive zvukovne šablone koje prepoznajemo kao muziku.
• Aristotel je, takođe, pokušavao da pomoću matematike opiše nevidljivu strukturu drame.
Pedesetih godina dvadesetog veka, lingvista Noam Čomski ( Noam Chomsky) koristio je matematiku da „vidi“ nevidljive, apstraktne šablone koje prepoznajemo kao gramatične rečenice. Tako je od lingvistike, kao nerazvijene grane antropologije, stvorio naprednu matematičku nauku.
Konačno matematika nam omogućava da predvidimo budućnost:
• Teorija verovatnoće i matematička statistika dozvoljavaju nam da predvidimo rezultate izbora, često sa izvanrednom tačnošću.
• Pomoću diferencijalnog i integralnog računa prognoziramo sutrašnje vremenske prilike.
• Analitičari tržišta pomoću matematičkih teorija predviđaju ponašanje berze.
• Osiguravajuća društva koriste statistiku i teoriju verovatnoće da bi procenila koja je mogućnost da se neka nezgoda dogodi tokom nredne godine, pa prema tome utvrđuju svoje premije.
Kada je reč o gledanju u budućnost, matematički vid nije savršen. Ponekad su predviđannja pogrešna. Ali, bez matematike ne bismo uopšte mogli da vidimo. Pre skoro četrdest godina naučnik Judžin Vigner ( Eugene Wigner ) napisao je članak pod naslovom „Nerazumljiva primenljivost matematike u prirodnim naukama “. „Iz kog razloga “, pitao se Vigner, „matematika može tako često i uspešno da se primenjuje ? “ Onog trenutka kada shvatite da matemtika nije igra koju su ljudi izmislili, već se tiče pravilnosti koje niču u svetu oko nas, Vignerova primedba ne deluje tako neobično.Matematika se ne bavi brojevima, već životom. Bavi se svetom u kom živimo. Bavi se idejama. I nasuprot ustaljenoj predstavi da je dosadna i neplodna, ona je izuzetno kreativna.
Mnogi su ljudi matematiku poredili sa muzikom. Njih dve nesumnjivo imaju mnogo zajedničkih osobina, među kojima je i korišćenje apstraktnog načina označavanja. Zaista, prva stvar koju svako uoči kad otvori tipičnu knjigu iz matermatike jeste da je puna simbola – ređe su stranice za stranicom nečega što liči na strani jezik napisan stranim alfabetom. U stvari, upravo to i jeste. Matemtičari svoje ideje iskazuju jezikom matematike. Ako se matematika bavi životom i svetom oko nas, zašto onda matematičari koriste jezik koji mnoge ljude odbija od ovog predmeta. Ne zbog toga što su matematičari perverzni pojedinci koji vole da provode dane plivajući u algebarskom moru besmislenih simbola. Razlog oslanjanja na apstraktne simbole jeste to što su pravilnosti koje matematičari proučavaju takođe apstraktne.
Apstraktna pravila kojima se bave matematičari, mogu se smatrati „kosturom“ svih stvari na svetu. Matematičar izabere neki aspekt sveta, recimo cvet ili igru poker, izdvoji jednu njegovu osobinu, a zatim odbacuje sve pojedinosti, ostavljajući samo apstraktni kostur. Kada je reč o cvetu, apstraktni kostur može biti na primer simetrija; u slučaju pokera, to bi mogla biti podela karata, ili pravila klađenja.
Da bi proučavao tako apstraktne pravilnosti, matematičar mora da koristi apstratni način obeležavanja. Muzičari koriste podjednako apstraktne oznake za opisivanje muzičkih oblika. To rade da bi na papiru opišu pravila koja postoje samo u ljudskom umu. Ista melodija može se osvirati na gitari, klaviru, oboi ili flauti. Svaki instrument proizvodi drugačiji zvuk, ali melodija se ne mennja. Ono što pravi razliku između melodija nije instrument, već način na koji su rasppoređene note. To je ta apstraktna pravilnost koja se krije iza muzičkih nota.
Kada matematičar gleda u papir s matematičkim simbolima, on te simbole „vidi“ kao što iskusni muzičar „vidi“ note na notnom papiru. Izvežbane oči muzičara kroz muzičke simbole direktno čitaju zvukove koje oni predstavljaju. Isto tako, matematičar kroz matematičke simbole direktno čita pravila koja oni predstavljaju. Može se reći da veza između mtematike i muzike ide još dublje – sve do strukure samog uređaja koji ih proizvodi do: ljudskog mozga.
Kako matematičari ulaze u formu?
Reč geometrija potiče od grčkog geo metros, što znači merenje zemlje. Stari Egipćani, Vavilonci i Kinezi počeli su da razvijaju geometriju kako bi mogli da određuju granice svog zemljišta, podižu građevine i upisuju zvezde na karte, za potrebe plovidbe. U geometriji proučavamo zakonitosti koje se odnose na oblike. Ne bilo kakve oblike, već pravilne oblike, kao što su trouglovi, kvadrati, pravougaonici, paralelogrami, petouglovi, kocke, oktaedri, sfere, elipsoidi i slično.Primere ovih oblika vidimo u svetu koji nas okružuje – kružna pojava Sunca i Meseca, okrugli satovi i točkovi, trouglaste, kvadratne i šestougaone podne pločice, kockaste kutije, sferne teniske loptice, elipsoidne lopte za (američki) fudbal i tako dalje. Geometrija ove oblike proučava apstraktno, ne vezujući ih za odgovarajuće primere u stvarnom svetu.
Kad odluči koju će vrstu oblika da proučava, matematičar otkriva opšte činjenice koje važe za sve primere tog oblika. Na primer, Pitagorina teorema kaže da je kod svakog pravouglog trougla kvadrat nad hipotenuzom jednak zbiru kvadrata nad katetama.
Starogrčki matematičar Euklid sakupio je mnoge osnovne geometrijske teoreme u svom čuvenom delu „Elementi“, napisanog oko 350.godine pre nove ere. Jedna od najboljih teorema u „Elementima“ tiče se takozvanog pravilnog poliedra. Poliedri su trodimenzionalne analogne varijante pravilnih mnogouglova.
Pravilni mnogougao je figura čije su stranice jednake, a uglovi između susednih stranica podudarni. Najjednostavnija figura ove vrste jeste jednakostranični trogao, kod koga svaki ugao iznosi 60 stepeni. Za njim je kvadart; zatim pravilan petougao (ugao između susednih stranica je 108 stepeni); pravilan šestougao (ugao je 120 stepeni), itd. Pravilni mnogougao može imati proizvoljan broj stranica.
Pravilan poliedar je trodimenzionalno telo čije su strane podudarni pravilni mnogouglovi, a svi unutrašnji uglovi su im jednaki. Za razliku od pravilnog mnogougla , pravilni poliedri ne mogu imati proizvoljan broj strana. Kao što je dokazano u Euklidovim „Elementima“, postoji samo pet pravilnih poliedara: pravilni tetraedar (strane su četiri podudarna jednakostranična trougla); kocka (strtane su joj šest podudarnih kvadrata); pravilni oktaedar (strane su mu osam podudarnih jednakostraničnih trouglova); pravilni dodekaedar (strane su mu dvanaest pravilnih petouglova); i ikosaedar (srane su mu dvadeset pravilnih jednakostraničnih trouglova). U ovom slučaju, geometrijski zakoni ograničavaju broj mogućnosti.
Slična je situacija i sa oblikom šara na tapetama. Geometrijski zakoni ograničavaju broj mogućnosti na sedamnaest.
Iako mnoge od nas iznenađuje saznanje da postoji samo pet pravilnih poliedara, nismo iznenađeni što o njima postoji matematička teorema. Pravilni poliedar je upravo nešto za šta biste očekivali da postoji teorema. Ali, pitamo se šta je sa tapetama?
Malo veće iznenađenje izaziva saznanje da postoji teotetsko ograničenje kda su u pitanju šare na tapetama. Dizajneri uvek mogu da izbace nove ideje. Ali, matematička toerema se ne odnosi na fine detalje šara. Matematičare privlači to što se određena šara na tapetama može ponoviti proizvoljan broj puta. Na koliko se različitih načina utvrđena šara može preslikati beskonačno mnogo puta i koja su to pravila preslikavanja? Pa, može se jednostavno prekopirati osnovni oblik, stranica po stranica. Ili se pak može pomerati uzduž, sleva nadesno ili zdesna nalevo, ili pomeranje nekom vrstom rotacije? Dakle, na koliko različitih načina je moguće to učiniti?
Kada se počne razmišljati o ovome i kad se čovek zapita od čega to zavisi beskrajno ponavljanje utvrđenog osnovnog oblika, shvatimo da to ima veoma složenu prirodu, zaista geometrijsku. To je upravo nešto na šta se može primeniti matematika. Uprkos tome, otkriveno je da postoji tačno sedamnaest načina da se preslika utvrđeni oblik. Neki od ovih načina zaista su komplikovani, ali zanimljivo je da su ih dizajneri tepiha, mozaika i ukrasnih zidnih pločica otkrili stotinama godina pre nego što su ih matematičari devetnaestog veka izbrojali i dokazali da ne postoje drugi.
Teorema šara na tapetama dobar je primer približavanja matematike svetu. Matematika je precizna nauka, koja se bavi preciznim pravilima. Geometijski oblici lako su prepoznatljivi – prave linije, trouglovi, krugovi, tetraedri, sfere i tako dalje.Ali, ponekad se mora naći pravi način pposmatranja pojave pre nego što se otkrije precizno matematičko pravilo. U slučaju šara na tapetama, potrebno je postaviti sledeće pitanje: po kojim se pravlima utvrđeni dizajn može ponoviti proizvoljan broj puta, tako da pokrije ceo zid?
Naravno, tek nakon istraživanja može se znati da li je otkriveno ikakvo zanimljivo (ili korisno) matematičko pravilo. Ponavljanje šara na tapetama jeste matematičko zato što je moguće dokazati teoremu koja se odnosi na to ponavljanje. Slično je i sa šarama na životinjskom krznu.
Iako su tufne na leopardu ili pruge na tigru donekle pravilne, one ne pokazuju onu vrstu geometrijske pravilnosti na koju se može primeniti matematika. Ali, da li kod šara na životinjskom krznu ipak postoji skrivena pravilnost na koju se matematika može primeniti?
Donedavno je odgovor bio ne. Međutim, tokom proteklih dvadest godina, matematičari su počeli da razvijaju „geometriju“ živih bića. Jedno od saznanja do kojih je došla nova matematika jeste da su šare na životinjskom krznu ograničene matematičkim zakonima, kao i pravilni poliedri ili šare na tapetama. Ključna stvar bila je pronalaženje pravog načina posmatranja pojave. Kada je reč o šarama na životinjskom krznu, postavlja se pitanje: koji mehanizam proizvodi različite oblike šara – tufne ili pruge?
Geometrija šara na životinjskom krznu
Ideja da se matematika primeni u proučavanju oblika živih bića prvi je pokrenuo veliki britanski mislilav Darsi Tompson (D’Arcy Thompson) u svojoj knjizi „O rastu i obliku“(On Growth and Form), koja je prvi put objavljena 1917.godine. Godine 1950, engleski matematičar Alen Tjuring (alan Turing) podržao je Tompsonovu zamisao, predlažući poseban mehanizam za primenu matematike uproučavanju šara na životinnjskom krznu. Ovu novu oblast nazvao je „morfogenezom“.
Tjuringova ideja bila je da se formulišu jednačine koje opisuju način formiranja šara na krznu, a pri tom se baziraju na biološkim ili hemijskim procesima usled kojih šare nastaju. Bila je to dobra zamisao, ali godinama s njom niko nije postigao veći napredak. Prvo, biolozi su tek bili na pragu razumevanja samog procesa rasta. Drugo, one vrste jednačina koje pružaju relevantne nauke, biologija i hemija, ne mogu se rešavati na isti način kao, recimo, jednačine kruga ili parabole, za koju se može nacrtati slika (grafik) krive. Tek sa razvojem kompjutera - i kompjuterske grafike – postalo je moguće sprovesti Tjuringovu zamisao.
Krajem osamdesetih godina , matematičar Džejms Mari (James Murray) sa Oksfordskog univerziteta, započeo je postupak koji bi se u tri koraka sproveo Tjuringov program. Prvi korak bio je da se napišu jednačine koje opisuju hemijske procese usled kojih nastaju boje na životinjskom krznu. Drugi korak bio je pisanje kompjuterskog programa koji bi rešio ove jednačine. Treći korak bio je da se rešenja pretvori u slike, uz pomoć tehnika kompjuterske grafike. Ako bi sve funkcionisalo - i ako bi jednačine zaista opisivale pravila rasta – dobijene slike ličile bi na neke ( sve?) vrste šara na životinjskom krznu koje se mogu videti u prirodi.
Mari je znao da svaku obojenost krzna prouzrokuje jedinjenje zvano melanin, koje stvaraju ćelije ispod same površine kože. Isto ovo jedinjenje omogućava ljudima svetle puti da pocrne na suncu. Ali, zašto tufne na leopardu? Ili pruge na tigru? Mari je krenuo od pretpostavke da određena jedinjenja stimulišu ćelije da proizvode melanin. Stoga su vidljive šare na krznu odraz nevidljivih hemijskih procesa u koži: visoka koncentracija jedinjenja povećava obojenost koju stvara melanin, a niske koncentracije ostavljaju kožu neobojenom. Postavilo se sledeće pitanje: zašto se jedinjenja koja podstiču proizvodnju melanina grupišu po određenom pravilu, tako da, nakon „uključivanja“ melanina, nastaju vidljive šare na koži?
Jedan mogući mehanizam pružili su takozvani reakciono – difuzioni sistemi. Rreakciono – difuzioni sistem nastaje kad dva ili više jedinjenja u istom rastvoru (ili u istoj koži) reaguju i šire se kroz rastvor, boreći se međusobno za teritoriju. Iako su ga matematičari ponudili kao teorijsku ideju još 50-tih godina, hemičari su reakciono – difuzioni sistem tek kasnije proučili u labaratoriji.
Da ne bi komplikovao stvari, Mari je pretpostavio da se u koži stvaraju samo dva jedinjenja, od kojihn jedno stimuliše proizvodnju melanina, a drugo je sprečava. Zatim je pretpostavio da prisustvo stimulatora izaziva povećanu proizvodnju inhibitora. Konačno, pretpostavio je da se inhibitor brže širi kroz kožu nego stimulator. Uz ove pretpostavke, ako je stvorena potrebna koncentracija stimulatora koja izaziva proizvodnju inhibitora, inhibitor, koji se brže kreće, biće u mogućnosti da okruži spori stimulator i soreči njegovo širenje. Rezultat će biti oblast stimulatora okružena prstenom inhibitora. Drugim rečima, tufna.
Mari ovaj proces upoređuje sa sledećim scenariom. „Zamislite“, kaže Mari, „ veoma suvu šumu po kojoj su raspoređene vatrogasne ekipe sa helikopterima i opremom za gašenje vatre. Kad izbije požar (stimulator), vatrogasci (inhibitori) bace se na posao. U helikopterima mogu da se kreću mnogo brže od vatre.(Inhibitor se širi brže nego stimulator.) Ipak, zbog njene jačine (velika koncentracija stimulatora), vatrogasci ne mogu da obuzdaju vatru. Zato je prestižu i prskaju drveće hemikalijom otpornom na vatru. Kad vatra stigne dopoprskanog drveća, njeno napredovanje se završava. Gledano iz vazduha , rezultat su crne tufne na mestima gde je gorela vatra, okružene zelenim prstenom poprskanog drveća.“
Zamislite sad da izbije nekoliko požara po celoj šumi, Ako se posmatra iz vazduha, pezjaž će se sastojati od oblasti crnog, izgorelog drveća prošaranog zelenilom. Ako su požari dovoljno udaljeni, iz vazduha će se videti po jedna crna tačka u moru zelenog. Ali, ako su požari blizu i uspeju da se spoje pre nego što ih vatrogasci obuzdaju, nastaće drugačija šara. Tačan oblik šare zavisiće od broja i relativnog položaja polaznih požara i relativnih brzina vatre i vatrogasaca (reakcione-difuzione brzine).
Marija je zanimalo kakva bi se šara dobila da su početni požari nasumično raspoređeni. Kako bi onda različite reakciono-difuzione brzine uticale na konačnu šaru? Tačnije, da li bi postojale brzine pri kojima bi se, počevši od proizvoljno raspoređenih izvora vatre, stvarale prepoznatljive šare kao što su tufne ili pruge? Ovde matematika stupa na scenu. Postoje jednačine koje opisuju reakcije i disperziju jedinjenja. U njima se koriste tehnike diferencijalnog i integralnog računa, i one se nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Raspolažući jednačinama, Mari je mogao da zaboravi na biologiju i hemiju i da se usredsredi na matematiku. Ubacivši ih u kompjuter, bio je u mogućnosti da obrazuju slike na ekranu koje prikazuju način disperzije jedinjenja. Na njegovo iznenađenje, čak i sa jednostavnim scenariom koji pretpostavlja da postoje samo dve hemikalije, jednačine su obrazovale šare koje su zapanjujuće ličile na životinjsku kožu.
U stvari, menjanjem parametara u jednačinama, Mari je otkrio jednostavnu, neočekivanu vezu između oblika i veličine oblasti kože u kojo se odvija reakciono-difuzioni proces, i šare na krznu koja se dobija. Takođe je otkrio da na malim delovima kože uopšte ne nastaju šare; na dugačkim, uskim oblastima nastaju poprečne pruge; na kvadratnim delovima formiraju se tufne, čiji tačan oblik zavisi od dimenzije oblasti.
Na većim oblastima kože ne nastaju šare. Klučni faktori jesu oblik i veličina životinjskog krzna u vreme kada se odvija reakciono-difuzioni proces, što se kod većine životinja događa tokom emrionalnog razvoja, a ne oblik i veličina potpuno odrasle jedinke. Na primer, prve nedelje trudnoće zebrin embrion je dugačak i ima oblik olovke. Opet, leopardovi embrioni su za vreme reakciono-difuzionog procesa bucmasti, što Marijeve jednačine predviđaju da su u pitanju tufne. Osim na repu. Leopardov rep je tokom razvoja dugačak, u obliku olovke, što objašnjava zašto je uvek prugast.
Pitamo se, da li Marijeve jednačine opisuju šta se zaista događa? S obzirom da biolozi još nisu eksperimentalno ispitali reakciono-difuzioni proces u koži embriona , u to ne možemo biti sigurni. Mari je izabrao najjednostavniji slučaj, sa samo dva hemijska reagensa, pa se ne može sa sigurnošću pretpostaviti da njegove jednačine tačno opisuju situaciju. S druge strane, one zaista proizvode sve vrste šara na krznima koje se mogu naći u prirodi.
Jedan od najubedljivijih dokaza da je Mari na pravom putu jeste to što njegova matematika odgovara na večito pitanje iz zoologije: zašto nekoliko vrsta životinja ima tufnasto telo i prugast rep, ali nijedna nema prugasto telo i tufnast rep? Po svoj prilici, ne postoji evolutivni razlog za ovu neobičnu pojavu. Mari pruža neverovatno jednostavno objašnjenje: ovo je neposredna posledica činjenice da mnogo životinjskih embriona ima bucmasta tela i tanke repove, ali nijedan životinjski embrion nema dugačko, tanko telo i bucmast rep.
Ako Meri jeste u pravu, imamo divan primer toga kako evolucija dovodi do izuzetno rfikasnog procesa. Dve očigledne evolutivne prednosti koje šare na životinjskom krznu pružaju jesu kamuflaža i privlačnost suprotnom polu. Pitanje je kako ja ovo postignuto?
Umesto da cela detaljna šara bude kodirana u DNK životinje, priroda je mogla efikasnije da iskoristi matematička pravila koja je Mari otkrio. Bilo bi potrebno samo da DNK kodira upustva koži ploda u razvoju (ili novorođene jedinke, u slučaju životinja kao što je pas dalmatinac, čije se šare na krznu pojavljuju posle rođenja) kada da se aktivira reakciono-difuzioni proces i kada da bude zaustavljen. Konačan raspored šara tada bi bio određen oblikom i veličinom kože u tom stadijumu razvoja.
Gemetrija cveća
Ponekad se možemo pitati kako bi neko opisao oblik cveta? Ili može li se reći da je bela rada okrugla? Ali,, nijedan cvet nije potpuno okrugao. On samo tako izgleda iz daljine. Kada bolje pogledate,, vidite da se cvet sastoji od mnogo latica, koje čine daleko komplikovaniji oblik od kruga. Da li se matematika može upotrebiti da se opiše pravi oblik krasuljka? Ili cveta koji nije okrugao, kao što je jorgovan? Da li matematika može da oblik jorgovana?
Ovo pitanje može izgledati besmisleno. Uostalom, od kakve bi koristi bio matematički opis cveta?
Odgovor kojem nas istorija iznova i iznova uči glasi da se naučno saznanje po pravilu ispostavi kao korisno. Na primer, početkom devetnaestog veka, matematičari su počeli da proučavaju oblike čvorova. Njihova jedina motivacija bila je radoznalost.Ali, tokom proteklih dvadeset pet godina biolozi su koristili matematiku čvorova kao pomoć u borbi protiv virusa, od kojih mnogi utiču na način na koji se molekul DNK savija u formu čvora.
Pronalaženje matematičkog opisa jorgovana moglo bi obezbediti tačnije vremenske prognoze. Evo kako činiti.
Kao u slučaju šara na tapetama i oznaka na životinjskom krznu, ključni korak jeste pronalaženje pravog načina posmatranja pojave. Kad je reč o životinjskom krznu, trik je usredsrediti se na toloiko na konačan izgled oznaka na životinjskom krznu koji je do njih doveo. Možda će sličan pristup važiti i za cveće. Da li je moguće razvijati geometriju cveća proučavajući na način na koji je priroda mogla „krerirati“ oblik cveta?
Ako pažljivo pogledamo jorgovan, možemo primetiti da njegov mali deo izgleda gotovo isto kao i ceo cvet. Ista pojava važi za još neke cvetove i pojedino povrće, kao što je brokoli ili karfiol. Matematičari ovu osobinu nazivaju sličnošću.
Oblaci su takođe slični. Matematički način da se opišu slični oblici može se iskoristiti za proučavaje oblaka. U slučaju da imamo matematički opis oblaka, možemo pomoću kompjutera simulirati jihovo obrazovanje, rast i kretanje. Uz pomoć ovih simulacija, uspešnije bismo prognozirali loše vreme, i na taj način bi se bolje zaštitili od posledica snžnih oluja ili tornada. Ovo nije toliko nestvarno. Naučnici već mnogo godina sprovode ovakva istraživanja.
Matematičar po imenu Helg Koh (Helge Koch) krajem devetnaestog veka proučavao je sličnost. Koh je uočio da, ako uzmemo jednakostranični trougao, dodamo manje jednakostranične trouglove na središnju trećinu svake njegove stranice, dobijamo na kraju fascinantan oblik prikazan na slici 5, koji danas nazivamo Kohovom pahuljom (svaki put kad dodamo novi trougao obrišemo središnju trećinu stranice).
Ovaj nam primer pokazuje da oblik komplikovanog izgleda može nastati ponavljanjem primene veoma jednostavnog pravila. Sličnost proističe iz primene istog pravila, iznova i iznova. Savremeni matematičari slične figure nazivaju fraktalima, kako ih je 1960. godine imenovao matematičar Benoa Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), koji je nabrojao i proučio mnoge primere sličnosti u prirodi.
Da bi dobio geometrijski opis fraktala, matematičar traži pravila koja će nakon svakog ponavljanja proizvesti sličan oblik.Ovakav ponovljiv sistem pravila rasta naziva se L-sistem, po Aristidu Lindenmajeru (Aristid Lindenmayer), biologu koji je 1968. godine razvio formalni model za opisivanje razvoja biljaka na ćelijskom nivou.
Na primer, veoma jednostavan L-sistem za obrazovanje drvolikog oblika kaže da ako preslikavanje počnemo od vrha bilo koje grane, taj deo formira dve none grane, dajući pri tom tri nova vrha. Ako ponavljamo ovo pravilo, otkrićemo da velikom brzinom dobijamo drvoliki oblik. Prvih nekoliko ponavljanja ovog pravila može se lako izvesti pomoću papira i olovke. Ali, tek kada ga nekoliko stotina puta primenimo na kompjuteru počećemo da dobijamo nešto što zaista liči na drvo.
Matematičar Pšemislav Prusinkjevič (Przemyslaw Prusinkiewicz) iskoristio je ovaj pristup da obrazuje cvet na kompjuteru. Da bi stvorio, recimo, jorgovan, Prusinkjevič najpre pomoću veoma jednostavnog L-sistema gradi kostur cveta. Da bi dobijena slika više podsećala na stvarnost, on vrši pažljiva merenja pravog jorgovana i njima prilagođava L-sistem. Tako uz pomoć prerađenog L-sistema, stvara razgranatu strukturu jorgovana. Zatim, primenjujući istu ovu tehniku, drugačijim L-sistemom obrazuje cvetove. Šta dobija kao rezultat? Jorgovan raste pred njegovim očima. Ne pravi jorgovan, već matematički, stvoren na kompjuteru.
Kako izgleda jedan od Prusinkjevičevih jorgovana stvorenih pomoću kompjutera? Zapanjujuće liči na fotografiju pravog jorgovana. Baš kao što šare na životinjskom krznu proizvedene pomoću Marijevih jednačina izgledaju isto kao u stvarnosti. Može se reći da oba primera pokazuju da se složeni oblici prirode mogu dobiti primenom veoma jednostavnih pravila. Kako Prusinkjevič kaže:
Biljka neprekidno ponavlja istu stvar. Pošto se to događa na mnogo mesta, njena konačna struktura izgleda nam složena. Ali, ona nije zaista složena; samo je komplikovana.
I Mari i Prusinkjevič uviđaju estetsku stranu svog rada. Mari, na primer, kaže:
Kad se sam, ili sa svojom suprugom, ćerkom ili sinom šetam po šumi i imam vremena za razgledanje, veoma mi je teško da pogledam u paprat ili koru drveta a da se ne zapitam kako je nastala i zašto tako izgleda. To ne znači da cenim lepotu cveta ili zalaska sunca; uvažavanje te lepote prepliće se s idejama i pitanjima.
Prusinkjevič na sličan način posmatra važnost života:
Kad cenite lepotu biljke, to nije samo zbog njene statične strukture, već često i zbog procesa usled kog je ta struktura nastala. Za naučnika koji se divi lepoti cveta ili lista, važno je da razume kako su oni evoluirali tokom vremena. Ja ovo nazivam logaritamskom lepotom biljaka. To je neka vrsta skrivene lepote.
Lepota koju oko ne može da vidi
Geometrija proučava oblike koje viđamo u svetu oko nas. Oni mogu biti očigledno „matematički“, kakve su proučavali stari Grci – trogloivi, krugovi, poliedri i drugi – ili šare na životinjskom krznu i oblici biljaka i cvetova. (Zaista je stvar definicije da li će se ova novija proučavanja zvati „geometrijom“. U svakom slučaju, ona jesu matematika i bave se vidljivim oblicima.)
Ali, naše oči opažaju i druge vrste pravilnosti. Očigledan primer jeste simetrija. Simetrija cveta ili pahulje očigledno je vezana za njihovu geometrijsku pravilnost. Mi, ipak, tu simetriju ne vidimo – bar ne očima; pre bi se moglo reći da je opažamo mislima. Jedini način da se „vide“ vrste simetrije (za razliku od simetričnih oblika) jestekroz matematiku. Čineći vidljivim inače nevidljive vrste simetrija koje doprinose lepoti, proučavanje simetije podrazumeva dublje, apstraktnije aspekte oblika.
Prvi korak predstavlja pronalaženje preciznog načina posmatranja simetrije – načina koji matematičatu omogućuje da formalno rasuđuje i (najverovatnije) zapisuje formule i jednačine. Ovaj početni korak u razvijanju nove grane matematike često je jedan od najtežih; ne mtematički teških. Uostalom, može se reći da tu uopšte i nema matematike! Problem je u pronalaženju novog načina posmatranja pojave.
Šta je simetrija? Svakodnevnim jezikom rečeno, neki predmet (na primer, vaza ili lice) simetričan je kad s različitih strana, ili iz različitih uglova, ili reflektovan u ofledalu, izgleda isto. Ova uopštena zapažanja ne obuhvataju sve mogućnosti, ali ipak sadrže glavnu ideju.
Potrebno je najpre uopštenooj ideji da „nešto izgleda isto iz nekoliko (ili mnogo) uglova“ dati konkretan oblik. Počnimo od mterijalnih predmeta i posmtranja simetrije kao stvarne manipulacije tim predmetima, kako bi došli do apstraktne, formalne definicije simetrije, koja se može primeniti na potpuno apstraktne predmete.
Zapitajmo se šta se podrazumeva pod tim da „nešto izgleda isto iz različitih uglova“. Zamislimo da pred sobom imamo neki predmet. To može biti neka dvodimenzionalna figura ili trodimenzionalni predmet. Pretpostavimo da taj predmet rotira oko neke prave ili tačke. Da li predmet posle ove operacije izgleda isto kao i pre – da li su njegov položaj, oblik i orjentacija isti? U slučaju da jesu, reći ćemo da je predmet „ simetričan “ za tu određenu operaciju.
Na primer, ako krug rotiramo oko centra za proizvoljan ugao, dobijan figura izgledaće isto kao i ona od koje smo krenuli. Kažemo da je krug simetričan na svaku rotaciju oko svog centra. Naravno, ako rotacija nije za 360 stepeni (ili više puta po 360 stepeni), svaka tačka na krugu završiće na nekom drugom mestu. Krug će se pokrenuti. Ali, iako su pojedinačne tačke promenule položaj, figura izgleda isto kao što je izgledala pre rotacije.
Krug je simetričan ne samo za svaku rotaciju oko svog centra već i u odnosu na bilo koji svoj prečnik. Ovo upravo znači, da svakoj tački figure odgovara naspraman tačka u odnosu na izabrani prečnik. Tako imamo kod časovnika, simetrija u odnosu na vertikalni prečnik zamenjuje tačku 9 tačkom 3, tačku 10 tačkom 2 itd.
Krug se izdvaja po tome što ima mnogo simetrija – svakodnevnim jezikom rekli bismo da je „veoma simetričan“.
Kada je u pitanju kvadrat, on ima manje simetrija od kruga. Ako kvadrat rotiramo za 90 stepeni ili 180 stepeni u bilo kom smeru, on izgleda isto. Ali, ako ga rotiramo za 45 stepeni, izgledaće drugačije, kao dijamant. Još jedna transformacija kvadrata nakon koje on ostaje isti, jeste njegovo preslikavanje refleksijom u odnosu na jednu od dve prave koje prolaze kroz centar i paralelne su sa stranicama. Kvadrat takođe možemo preslikati u odnosu na bilo koju od dve dijagonale. Ovim transformacijama određene tačke kvadrata menjaju položaj, dok oblik, i orjentacija figure ostaju neizmenjeni.
Ljudsko lice je simetrično, ali ne kao kvadrat. Ono izgleda isto ako se preslika u odnosu na vertikalnu pravu koja prolazi kroz sredinu nosa (kada se zamenu leva i desna strana), što je transformacija koja se lako dobije kada se providna fotografija presavije na pola. Ali, rezultat neke druge rotacije ili refleksije izgledaće drugaččije. Ovde, možemo pretpostaviti da je čovekovo lice savršeno. U stvarnosti ne postoji zaista simetrično ljudsko lice, kao što nijedan materijalni objekat nije savršen krug. Matematika uvek proučava imaginarne savršene verzije stvarnih predmeta.
U tri dimenzije, ljudsko telo je simetrično u odnosu na ravan koja prolazi vertikalno kroz centar tela – refleksija kojom se leva strana tela može poklopiti sa desnom. Na prvi pogled, ova simetrija poseća na zbunjujuću sliku u ogledalu. Naime, kada pogledamo u ogledalo, vidimo da je kod našeg odraza zamenjena leva i desna strana (podignemo levu ruku, a odraz koji nas gleda podigne desnu ruku), ali da to nije slučaj s njegovom donjom i gornjom polovinom. Pitamo se kako to da ogledalo zamenjuje levu i desnu stranu , a ne zamenjuje gornju polovinu donjom? Šta se događa ukoliko legnemo ispred ogledala, tako da nam je leva strana tela gore, a glava desno?
Objašnjenje ove neobične pojave jeste da ogledalo, u stvari, ništa ne zamenjuje. Isto tako, ako nosimo sat na levoj ruci, odraz će imati sat na ruci koja je direktno naspram naše leve ruke, dok će glava odraza biti direktno naspram naše glave. Ali, zbog levo – desne simetrije ljudskog tela, mi ćemo naš odraz videti kao drugu osobu pred sobom; leva ruka te osobe zaista će biti naspram naše desne ruke.
Od svakodnevne predstave „simetrije“ došli smo do preciznog pojma simetrije u zavisnosti od određene manipulacije objektom. Što je veći broj manipulacija nakon kojih predmet izgleda isto, on je simetričniji u svakodnevnom smislu. Pošto želimo da pojam simetrije primenimo na stvari koje ne predstavljaju geometrijske figure ili materijalne objekte, od sada ćemo umesto reči manipulacija koristiti reč „transformacija“. Transformacijom se dati objekat (koji može biti apstraktan) transformiše u nešto drugo. Transformacija može biti:
• translacija - premeštanje objekta na drugu poziciju, bez rotiranja;
• rotacija - oko tačke kad su u pitanju dvodimenzionalne figure, i u odnosu na pravu kad je reč o trodimenzionalnim objektima;
• refleksija - u odnosu na pravu, kad su u pitanju dvodimenzionalne figure, i u odnosu na ravan,kad se radi o trodimenzionalnim figurama;
• rastezanje ili skupljanje - nešto što nije moguće za materijalne objekte;
Kluč za matematičko proučavanje simetrije jeste da posmatramo transformacije objekata, a ne same objekte.
Za matematičara je simetrija figure transformacija kojom figura ostaje neizmenjena. „Neizmenjena“ znači da figura nakon transformacije izgleda isto kao i ranije, po pitanju pozicije, oblika i orjentacije, čak i kada su neke tačke na njoj pomerene.
Pošto translacije spadaju u moguće transformacije, ponavljanje šara na tapetama, koje smo ranije pomenuli, jeste simetrija. U svari, simetrija je ono što leži iza dokaza da postoji tačno sedamnaest mogućih načina da se ponovi određena šara. Dozvoljene transformacije – „simetrije“ za šare na tapetama – moraju funkcionisati na celom zidu, ne samo na jednom njegovom delu. Upravo ovo ograničava broj simetrija na sedamnaest.
Dokaz teoreme o šarama na tapetama zahteva detaljno proučavanje načina na koje se transformacije mogu kombinovati tako da daju nove transformacije, kao što je refleksija koju prati rotacija za 90 stepeni u smeru od suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Naime, postoji „aritmetika“ kombinovanja transformacija, kao što postoji (poznata) aritmetika kombinovanja brojeva. Tako na primer u običnoj aritmetici možemo sabrati ili pomnožiti dva broja da bi dobili novi broj. U „aritmetici transformacija“ kombinujemo dve transformacije da bismo dobili novu transformaciju, na taj način što izvedemo jednu pa drugu.
Aritmetika transformacija funkcioniše slično kao aritmetika brojeva.
Ali, postoje zanimljive razlike. Otkriće neobične nove aritmetike u drugoj polovini osamnaestog veka omogućilo je nove, zapanjujuće matematičke rezultate, koji nisu uticali samo na matematiku, već i na fiziku, hemiju, kristalografiju, medicinu, tehniku, komunikaciju i kompjutersku tehnologiju.
Literatura :
Devlin, K.- Life by Numbers, New York, NY, John Wiley & Sons, 1998.
Deviln, K. – The language of Mathematics : Making the Invisible Visible, New York, NY, W. H. Freeman, 1998.
Prusinkiewicz, P. & Lindermayer, A. – The Algorithmic Beaty of Plants, Heilderberg, Germany, Springer – Verlag, 1996.
Steen, L. – The sciense of patterns, Science , 240, 1988.
Sawyer, W. W. – Prelude of mathematics, U K. Penguin books, 1955.
Devlin, K – Matematički gen, Beograd, 2001.
Turing, A . – The Chemicial Basis of Morphogenesis, Phil. Trans. Roy. Soc, B237, 1952
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
