Predvidjanje pomocu matematicko-
statistickih metoda
Danas nema više nijedne grane nauke u kojoj se ne bi mogao uspešno
primeniti matematicko-statisticki nacin istraživanja. To su pre svega
ekonomske i uopšte društvene nauke, gde se vecina pojava može
posmatrati samo statisticki. Na primer, u poljoprivredi se uticaj klimatskih
faktora i agrotehnickih mera na prinos kultura istražuje pomocu statistickih
uzoraka. Sve cešce se statistika primenjuje i u: genetici, medicini,
fizici, hemiji i sl. Pomocu statistickih metoda vrše se procene,
odmeravaju rizici, istražuju tendencije, analiziraju odnosi i faktori
koji ih odredjuju.
Predvidanje-je istraživanje buducih tj procena tokova dogadaja u
buducnosti koja ima cilj da formuliše pouzdane planske pretpostavke
o znacenju i karakteru dejstva eksternih i internih faktora i njihovom
mogucem uticaju na buduce poslovanje organizacije. Pet bitnih osobina
predvidanja: podrazumijeva istraživacki napor; bavi se buducnošcu
u smislu otkrivanja šansi; vezuje poslovanje preduzeca za buducnost
sa ciljem da se olakša proces donošenja i realizacije planskih
odluka; postiže minimiziranje rizika i neizvesnost u poslovanju.
Statisticke metode, u širem smislu, su osnov za poboljšanje
kvaliteta. Japanska filozofija kvaliteta navodi sedam metoda za obezbedenje
kvaliteta:
• prikupljanje podataka,
• histograme,
• kontrolne karte,
• Paretov (ABC) dijagram,
• uzrocno-posledicni (Išikava) dijagram,
• dijagrame rasipanja i
• stratifikaciju (poredenje) podataka.
Otkrivanje uzroka nastanka problema, odnosno faktora dejstva i njegov
uticaj karakteristiku kvaliteta (objekat istraživanja) moguc je pomocu
realizacije eksperimenta. Za dobijen eksperimentalni skup podataka konstruiše
se grafik zavisnosti, tzv. dijagram rasipanja, a za matematicku aproksimaciju
matematicke zavisnosti regresiona analiza.
Metod vremenskih serija (analiza)
Analiza metoda ekonomskih vremenskih serija je relevantna u ekonomskim
istraživanjima za potrebe kvantitativnih merenja ekonomskih zavisnosti
na osnovu kojih je moguce prognozirati buduce kretanje ekonomskih velicina
i analizirati efekte mera ekonomske politike. Godišnje kretanje društvenog
proizvoda, kvartalno kretanje izvoza, mesecna inflacija, dnevne promene
cene akcije i sl. predstavljaju primere ekonomskih vremenskih serija.
U pitanju su serije koje poseduju specificna svojstva, što zahteva
primenu odgovarajucih statistickih metoda za njihovu analizu. Osnovna
karakteristika vremenskih serija na finansijskim tržištima (na
primer, cena akcija) jeste nestabilnost fluktuiranja oko prosecne vrednosti.
Ovo svojstvo se može oznaciti i kao promenljivost varijabiliteta,
odnosno kao heteroskedasticnost u ekonometrijskoj terminologiji. Merenje
i prognoza varijabiliteta prinosa predstavljaju osnovu za procenu rizika,
što je primarni interes ucesnika na finansijskom tržištu.
Prvi statisticki model kojim je opisana promenljivost varijabiliteta kretanja
vremenske serije jeste autoregresioni model uslovne heteroskedasticnosti
(engl. ARCH model). Ideja modela je u tome da varijabilitet kretanja vremenske
serije nije konstantna velicina, vec se menja u zavisnosti od stepena
slucajnosti koju je ekonomska velicina ispoljila u prethodnom periodu.
Otuda termin autoregresioni u nazivu modela. Analiza stabilnosti varijanse
inflacije je od izuzetnog znacaja. U uslovima visoke inflacije postavlja
se pitanje stepena varijabiliteta u kretanju cena, jer veci stepen variranja
cena povlaci za sobom manju mogucnost predvidanja buduce inflacije. Danas
se ARCH model, kao i njegove brojne modifikacije, uglavnom koriste za
modeliranja podataka na finansijskim tržištima.
Trend komponenta
Od svih matematicko-statistickih metoda dinamicke analize masovnih pojava
metod trenda je najkompleksniji, pa se može reci i da je to najznacajniji
metod analize vremenskih serija. Naziv trend potice iz engleskog jezika
i u nešto pojednostavljenom prevodu znaci ¨nešto što
se krece¨ U statistickoj teoriji i dinamickoj analizi trend oznacava
karakteristicnu zakonomernu liniju kretanja neke pojave u vremenu kao
niz prosecnih teorijskih tacaka i vrednosti kroz koje bi posmatrana pojava
prolazila po svojoj prirodi, da nije bilo slucajnih i regularnih varijacija
u njenom toku.To je linija ili putanja centralne tendencije u toku i razvoju
pojava u vremenu ili razultanta opštih i posebnih uticaja koji su
dejstvovali na posmatranu pojavu usmeravajuci vrstu i oblik njenog kretanja.
Za trend se može reci da nam izražava prosecno srednje stanje
u svakom od posmatranih perioda, pa je zbog te osobine trend u stvari
dinamicka srednja vrednost. U brojcanom smislu to je jedna nova serija
ispravljenih teorijskih podataka o posmatranoj pojavi. Kada te nove teorijske
podatke unesemo izmedu originalnih podataka serije, vršimo operaciju
interpolaciju trenda. Za razliku od ovoga, kad na bazi tih novih, ispravljenih
podataka i matematicke funkcije pomocu kojih smo te podatke izracunali
vršimo izracunavanje buducih kretanja posmatrane pojave izvan vremenskog
raspona u kome je data serija originalnih podataka, kažemo da je
to ekstrapolacija trenda. Prema tome, pod pojmom ekstraolacija podrazumevamo
svako procenjivane nivoa posmatrane pojave izvan vremenskog raspona u
kome je data serija osnovnih podataka,bilo da je to procenjivanje za buduce
ili prošlo vreme.Na osnovu operacije ekstrapolacije trenda vršimo,
procenjivanje, predvidanje prognozu kretanja pojave za one periode za
koje najcešce nemamo originalnih podataka. To se vrši najcešce
za neki buduci period, pa se odatle i najznacajnija karakteristika trenda
kao metoda za procenu buducih kretanja. Medutim, takvu procenu buducih
kretanja doneli smo na bazi posmatranja i analize kretanja pojave u jednom
odredenom vremenskom rasponu u kme su na to kretanje delovali mnogi posredni
i neposredni faktori. Naša procena i prognoza buducih kretanja zasniva
s na pretpostavci da ce svi relevantni faktori koji su uslovljavali kretanje
do danas, delovali i daljeu istom smeru i približnom intezitetu.
Ak se medu tim uslovima i faktorima budu desile znacajne promene njihovog
dejstva po smeru i intezitetu,kretanje i razvoj posmatrane pojave imace
drugaciji oblik od onoga koga smo predvideli. Ova napomena znacajna je
narocitou onim slucajevima kada metodom trenda donosimo dugorocne prognoze
kretanja i razvoja pojava.
Kada govorimo o trendu kao naucnom metodu dinamicke analize ipredvidanja
buducih kretanja i razvoja pojava, potrebno je da obratimo pažnju
na nekoliko osnovnih principa a to su: kada se metod trenda može
primenjivati, koliko nam je podataka (perioda)potrebno da bi se mogao
primeniti metod trenda, kako cemo se opredeliti za izbor matematicke funkcije
koja ce nam predstavljati trend i za koji raspon vremena u buducnosti
možemo vršiti ekstrapolaciju trenda.
Primena metoda trenda, može se teorijski koristiti u svakom slucaju
kada nam je data ma kakva vremenska serija podataka, bez obzira u kojim
su vremenskim jedinicama snimani ti vremenski podaci. Medutim, praksa
je pokazala da je metod trenda najpodesniji za dinamicku analizu onih
vremenskih serija koje su date u jednogodišnjim vremenskim periodima.
Metod trenda ce imati realnog znacaja, isto tako, ako se posmatrana pojava
kratala i razvijala prvenstveno kao dugorocna cesto beskonacana, pokazujuci
pri tome svoja karakteristicna kretanja koja je moguce prostim posmatranjem
približnije definisati. Najzad, primena metoda trenda ima smisla
ako je njegova ekstrapolacija, dakle prognoza zasnovana na realnoj pretpostavci
i saznanju da ce posmatrana pojava materijalmog i duhovnog sveta, tj.
da se njeno postojanje nece bitno menjati u pozitivnom ili negativnom
smislu.
Broj podataka, ili perioda koji su nam neophodni da bi se primenio metod
trenda je onoliko podataka koliko je dovoljno da bi se moglo zakljuciti
o vrsti ili obliku kratanja koje pojava ispoljava tokom dužeg perioda
posmatranja. Izbor funkcije trenda koju cemo vrstu trenda primeniti zavisice
od posmatrane pojave, pa ce to biti linearna ili krivolinijska funkcija,
ili ce se raditi o takvoj pojavi za koju se ne može izvršiti
procena vrste i oblika u njenom kretanju i razvoju. Ta ocena vrste i oblika
kretanja posmatrane pojave izvodi se pomocu dijagrama rasturanja. To je
u stvari, graficki prikaz date vremenske serije i koja bi, prema tome,
bila najprikladnija matematicka funkcija za izražavanje ispoljenog
oblika kretanja. Ta funkcija, prava ili kriva, treba da bude tako odabrana
da se najbolje prilagodava rasporedu podataka na grafikonu; kako bi se
realno izražavala centralnu tendenciju toga kretanja i razvoja i
kako bi se što realnije mogla vršiti kao najverovatnije buduce
kratanje i razvoj posmatrane pojave.
Dužina perioda predvidanja, buducih kretanja posmatrane pojave zavisi
glavnom od pravilnosti vrste i oblika kretanja koje je pojavi ispoljavala
u dosadašnjem toku. Što je duži period u kome se pojava
kretala istim ili slicnim tokom to je duži period za koji možemo
vršiti predvidanje. Ono može biti najviše za dvostruko
kraci od perioda posmatranja obuhvacenog u vremenskoj seriji.
Linearni trend
Za izražavanje centralne tendencije kretanja i razvoja koje se ispoljava
kod posmatranih pojava u nekom pravolinijskom smeru, primenjuje se linearna
(pravolinijska) matematicka funkcija, koja u opštem eksplicitnom
izrazu glasi: y=a+bx. Ovde se kao neyzavisna promenljiva uzima i posmatra
vreme, oznacava se sa X, dok je kao njegova funkcija sa oznakom Y izražena
vrednost trenda za svaki period ili vremensku jedinicu. Parametri a i
b predstavljaju velicine koje trba da se izracunaju za svaki konkretni
slucaj kao karakteristicni elementi koji odreduju položaj i nagib
linije trenda. Parametar a pokazuje vrednost trenda u ishodištu (tj.
kada je X=0), dok parametar b kao koeficijent pravca pokazuje stalnu velicinu
porasta ili opadanja trenda od jednog perioda do drugog.
Linija trenda polazi izmedu originalnih osnovnih podataka posmatrane serije,
prilagodavajucise najvecoj mogucoj meri njihovom kretanju. Ovaj uslov
koji mora da ispunjava i zadovoljava linija trenda sastoji se u tome da
zbir odstojanja originalnih podataka od linije trenda mora da bude jednak
nuli, tj. ?=(yi-y)=0.Znacajno je napomenuti da ovaj uslov ispunjava samo
jedna, tacno odredena prava, koja prolazi izmedu originalnih podataka
od linije trenda jeste minimum, tj. taj zbir kvadratnih odstupanja originalnih
podataka od linije trenda manji je od zbira kvadratnih odstupanja originalnih
podataka. U tome se sastoji princip najmanjih kvadrata, pa se ybog toga
i metod trenda cesto naziva ¨Metod najmanjih kvadrata¨. Upravo
po ovoj osobini, linija trenda se najbolje prilagodava rasporedu i kretanju
originalnih podataka i izražava centralnu tendenciju razvoja pojave.
Druga osobina trenda glasi: ?=(yi-y)2=min. Pomocu ovog izraza dolazimo
do sistema normalnih jednacina iz kojih izracunavamo parametre a i b osnovne
analiticke funkcije trenda, koje zadovoljavaju uslov najmanjih kvadrata:
I ?yi= na+b?xi
II ?xiyi=a?xi+b?xi2
Rešavanjem ovog sitema pogodbenim metodom, dobicemo vrednost za parametre
a i b, što ce nam poslužiti da izracunamo vrednost trenda za
svaki pojedini period. Za izracunavanje trenda potrebne su tri faze koje
su nedeljive i to: analiticko odredivanje funkcije trenda; racunsko izracunavanje
elemenata i vrednosti trenda i graficko prikazivanje rezultata.
Dijagram rasipanja
Dijagram rasipanja predstavlja graficki prikaz zavisnosti i meduzavisnosti
izmedu promenljivih, za koje se ne može utvrditi funkcionalna zavisnost,
niti se može precizno iskazati odredenje koji od datih skupova podataka
predstavlja nezavisnu, a koji zavisnu promenljivu. Dijagram ili grafik
rasipanja se, za jednofaktorni eksperiment (zavisnost promenljivih x i
y), konstruiše na osnovu dobijenog eksperimentalnog skupa podataka,
odn. izmerenih vrednosti parova x i y, u pravouglom koordinatnom sistemu
sa specijalno odabranim skalama merenja na apscisnoj i ordinatnoj osi.
Na apscisnoj osi nanose se vrednosti nezavisno promenljive x, a na ordinatnoj
osi vrednosti zavisno promenljive y. Tako konstruisan grafik naziva se
grafik funkcija eksperimentalnih podataka, odn. dijagram rasipanja. Dijagram
rasipanja, na ocigledan nacin, omogucava slikovitu predstavu o tome da
li postoji ili ne postoji zavisnost i meduzavisnost izmedu promenljivih
x i y kao i njen tok (ponašanje) funkcije, tj. pokazuje kako se funkcija
menja kada njen argument uzima sve vrednosti iz oblasti definisanosti.
Tako npr., na osnovu nacrtanih eksperimentalnih tacaka može se vizuelno
uociti oblik aproksimativne linije: prava, kriva, monotono rastuca, opadajuca
ili periodicna linija, tacke maksimuma i/ili minimuma ili prevojne tacke.
Prevojne tacke eksperimentalne krive na dijagramu rasipanja mogu znaciti
granicu izmedu dva razlicita mehanizma iste pojave ili granicu poremecaja
u merenju. Dijagram rasipanja, takode, na ocigledan nacin otkriva ekstremne
vrednosti, pa je najpogodnija metoda analize pri odredivanju optimuma.
Na dijagramu rasipanja se, isto tako, mogu lako uociti grube greške,
a cesto i sistematske i slucajne greške ravnomernim rasipanjem eksperimentalnih
podataka oko aproksimativne krive.
Dijagram rasipanja se koristi da bi se ilustrovalo kako izlazne karakteristike
objekta istraživanja variraju zbog nekog odredenog faktora (promenljive).
Na slici 1 prikazani su razliciti dijagrami zavisnosti i meduzavisnost
izmedu dve promenljive x i y.
Na osnovu izgleda oblika eksperimentalnih tacaka u dijagramu rasipanja
(slika 1) može se utvrditi karakter i intenzitet istraživane
zavisnosti i meduzavisnosti. Zavisnost i meduzavisnost, na osnovu dijagrama
rasipanja, može biti:
• linearna zavisnost eksperimentalnih tacaka, koja predstavlja
pravolinijski oblik dijagrama rasipanja (slika 1-a i slika 1-b) i E-37
• nelinearna zavisnost eksperimentalnih tacaka, koja predstavlja
krivolinijski oblik dijagrama rasipanja (slika 1-c).
Zavisnost i meduzavisnost, zavisno od oblika dijagrama rasipanja, može
biti:
• rastuca ili pozitivna zavisnost eksperimentalnih tacaka, koja
na dijagramu rasipanja oznacava upravo proporcionalnu vezu izmedu promenljivih,
odn. sa porastom nezavisno promenljive x zavisno promenljiva y, takode,
raste (slucaj kada je koeficijent korelacije pozitivan, veci od nule:
0<r<+1) i
• opadajuca ili negativna zavisnost eksperimentalnih tacaka, koja
na dijagramu rasipanja pokazuje da je veza izmedu promenljivih obrnuto
proporcionalna, odn. opadanjem nezavisno promenljive x dovodi do opadanja
i zavisno promenljive y (slucaj kada je koeficijent korelacije negativan,
manji od nule: 0>r>-1) .
Predhodna slika pojasnjava razlicite oblike dijagrama rasipanja zavisnosti
izmedu dve promenljive. Intenzitet veze, koja se ocenjuje na osnovu položaja
eksperimentalnih tacaka u dijagramu rasipanja, može biti:
• jaka meduzavisnost, koja pokazuje da su eksperimentalne tacke
na dijagramu rasipanja vrlo bliske nekoj funkcionalnoj zavisnosti, odn.
teorijskoj aproksimativnoj krivoj , (ako se sve eksperimentalne tacke
na dijagramu rasipanju nalaze na aproksimativnoj krivoj tada se kaže
da postoji potpuna meduzavisnost, što je jedna teorijska mogucnost,
slucaj kada je i koeficijent korelacije jednak jedinici: r=1) i
• slaba meduzavisnost, koja pokazuje da su eksperimentalne tacke
na dijagramu rasipanja nisu bliske nijednoj teorijskoj aproksimativnoj
krivoj , (ako eksperimentalne tacke na dijagramu rasipanju oznacavaju
nezavisnost jedne promenljive od druge tada se kaže da postoji potpuno
odsustvo meduzavisnosti, slucaj kada je i koeficijent korelacije jednak
nuli: r=0).
Zakljucak
Matematicko-statisticki metodi i statisticke analize postali su osnovni
metod predvidjanja u svim oblastima, pa tako i u marketingu. Može
se slobodno reci da su raznorodni matematicko-statisticki modeli zakljucivanja
i analize podataka sastavni deo svakodnevnog života savremenog društva.
Zato je upoznavanje sa ovim metodima imperativ u obrazovnom sistemu. Ono
je potrebno kako za matematicki obrazovane ljude, takode i za one sa manjim
matematickim znanjem, kako bi mogli da shvate smisao i moc matematicko-statistickih
metoda - radi ispravnih zakljucaka u rešavanju problema iz oblasti
njihove delatnosti.
U ispitivanju razvojne tendencije pojave na dugi rok koja se naziva trendom
polazi se od pretpostavke da na razvoj pojave izvesni faktori deluju postojano
u odredenom pravcu, dok drugi privremeno skrecu tok pojave s toga pravca,
naviše ili naniže. Graficki, varijacije vremenske serije se
izravnavaju linijom trenda, koja pokazuje prosecno kretanje pojave na
dugi rok.
Makroekonomske vremenske serije u svom kretanju najcešce prate putanju
koja se u datom trenutku ne može predvideti na osnovu prethodnih
informacija. Takav trend se naziva stohasticki trend i sugeriše nepredvidivost
kretanja vremenske serije tokom vremena. Na primer, ekonomski rast, izazvan
tehnickim progresom utice na to da mnoge ekonomske velicine ispoljavaju
tendenciju stohastickog rasta tokom vremena. Prema statistickoj terminologiji
u pitanju je nestacionarna vremenska serija. Svojstvo nestacionarnosti
se može smatrati prirodnim u ekonomskom životu, za razliku od
svojstva stacionarnosti koji podrazumeva slicnost u ponašanju.
Pod pojmom kointegracije se podrazumeva, slobodno receno, visok stepen
usaglašenosti zajednickog kretanja individualno nestacionarnih vremenskih
serija. Kointegrisane ekonomske velicine se nalaze dugorocno na istoj
ravnotežnoj putanji, dok kratkorocno odstupaju od nje. Dugorocna
ravnotežna putanja upravo predstavlja kointegracionu relaciju. Ideja
koja leži u osnovi ovog koncepta je primamljiva za opisivanje ekonomskih
relacija. Pretpostavimo da postoje dve ekonomske velicine, od kojih svaka
poseduje sopstveni stohasticki trend, ali se njihovo kretanje odvija u
odredenim granicama u smislu da se serije ne udaljavaju mnogo jedna od
druge. Ovo se može objasniti postojanjem “sile privlacenja”
koja posmatrane serije “vuce” jedna ka drugoj a ciji je izvor
u prirodi ekonomskih odnosa. Na primer, pojedinacno kretanje potrošnje
i dohotka najcešce odlikuje nepredvidivost u kretanju, ali su ove
dve velicine cesto kointegrisane, zato što je potrošnja relativno
stabilni deo dohotka. Na osnovu informacije o kointegrisanosti moguce
je modelirati i prognozirati njihovo ponašanje.
Danas je koncept kointegracije osnovni metodološki okvir za modeliranje
makroekonomskih vremenskih serija, kako u svetu, tako i kod nas. Na primer,
analiza visokih inflacija u svetu tokom prošlog veka je pokazala
da su cene, plate i devizni kurs kointegrisane vremenske serije u smislu
da je devizni kurs bio glavni izvor nestabilnosti, a da su se cene i plate
samo prilagodavale ravnotežnoj vezi koju su obrazovale zajedno sa
deviznim kursem. Sa druge strane, utvrdeno je da su plate i novac kointegrisane
vremenske serije i da je kretanje novca bilo odredeno kretanjem plata.
Ovaj naizgled neocekivani rezultat, jer je u tržišnim ekonomijama
uobicajno da kretanje novca zavisi od cena, se može objasniti postojanjem
mekog budžetskog ogranicenja i kvazi-fiskalnog deficita. Slicni rezultati
specificnog prilagodavanja novca su dobijeni i za neke druge zemlje u
pocetnoj fazi tranzicije.
Literatura
Rade Stankovic, Proizvodni i uslužni menadžment, Beograd
1. Ahmed, P. & Rafiq, M. Integrated Benchmarking: a Holistic Examination of Select Technics for Benchmarking Analysis, New York,
2. Camp, R. C. The Search for Industry Best Practices that Lead to Superior Performance, ASQC Quality Press, Milwaukee
3. Elmuti, D. The Perceived Impact of the Benchmarking Process on Organisational Effectiveness, Production and Inventory Management Journal,
4. Spendolini, M. J. The Benchmarking Book, Amacon, New Jork.
Dr. Mileva Žižic, Dr. Miodrag Lovric, Dr. Dubravka Pavlicic - Metodi statisticke
analize, Beograd 2001. god.Internet adrese:
o www.anu.edu.au
o www.eto.org.uk www.wikipedia.com
o www.e-magazin .com
preuzmi
seminarski rad u wordu » » »
Besplatni Seminarski Radovi